Lista de exercícios de juros compostos

Veja uma lista de exercícios resolvidos sobre juros compostos ou "juros sobre juros". Todas as questões com resolução, passo a passo.

Por Elainy Marciano Publicado em 25/09/2020 - 16:59

Os juros compostos são os mais utilizados por aumentarem ao longo do tempo, gerando um montante maior. Esse tipo de juros é conhecido como “juros sobre juros”.

A fórmula do montante para juros compostos é:

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$\dpi{120} \mathrm{M=C(1+i)^t}$

Em que:

M: montante;
C: capital inicial;
i: taxa de aplicação;
t: tempo de aplicação.

Para utilizar essa fórmula, a taxa de aplicação, que normalmente é fornecida em porcentagem, deve estar na forma decimal. Para isso, basta dividir a taxa por 100.

Também é importante observar que a taxa e o tempo de aplicação devem estar na mesma unidade de medida, ou seja, se a taxa for ao mês, o tempo também deve estar em meses na fórmula.

Após calcular o montante, podemos obter os juros compostos pela seguinte fórmula:

$\dpi{120} \mathrm{J = M - C}$

Veja, a seguir, uma lista de exercícios de juros compostos, todos com resolução!

Exercícios de juros compostos

Questão 1. Pedro fez um investimento de R$ 3.000 por 5 anos a uma taxa de 0,35% de juros compostos mensais. Quanto Pedro terá ao final desse período?

Questão 2. Magali fez um empréstimo de R$ 5.000 por 1 ano e meio pagando 1,3% de taxa de juros compostos trimestral. Quanto Magali deverá pagar pelo empréstimo? Qual o valor dos juros?

Questão 3. Renata fez um empréstimo a uma taxa de 3% de juros compostos. Após 6 anos, Renata pagou R$ 13.000. De quanto foi o empréstimo?

Questão 4. Raul fez uma aplicação de R$ 9.000 e depois de 3 anos havia resultado em R$ 10.500. Qual a taxa de juros compostos aplicada?

Questão 5. Eduarda faz uma aplicação de R$ 15.000 com uma taxa de 3% de juros compostos anuais. Qual o tempo mínimo para que Eduarda obtenha um total de R$ 18.000?

Resolução da questão 1

Temos:

Capital inicial: C = 3000;

Taxa de aplicação: i = 0,35% = 0,0035 ao mês;

Tempo de aplicação: t = 5 anos = 60 meses.

Queremos saber o montante. Então, vamos aplicar esses valores na fórmula do montante:

$\dpi{120} \mathrm{M=C(1+i)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{M=3000(1+0,0035)^{60}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{M=3000(1,0035)^{60}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{M=3699,67}$

Portanto, ao final dos 5 anos, Pedro terá R$ 3.699,67.

Resolução da questão 2

Temos:

Capital inicial: C = 5000;

Taxa de aplicação: i = 1,3% = 0,013 ao trimestre;

Tempo de aplicação: t = 1 ano e meio = 18 meses = 6 trimestres.

Queremos saber o montante. Então, vamos aplicar esses valores na fórmula do montante:

$\dpi{120} \mathrm{M=C(1+i)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{M=5000(1+0,013)^{6}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{M=5000(1,013)^{6}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{M=5402,89}$

Portanto, Magali terá que pagar R$ 5.402,89 pelo empréstimo.

Agora, vamos calcular os juros:

$\dpi{120} \mathrm{J = M - C}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{J = 5402,89 - 5000}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{J = 402,89}$

Os juros do empréstimo é de R$ 402,89.

Resolução da questão 3

Temos:

Taxa de aplicação: i = 3% = 0,03 ao trimestre;

Tempo de aplicação: t = 6 anos = 72 meses = 24 trimestres;

Montante: M = 13000.

Queremos saber o capital inicial. Então, vamos aplicar esses valores na fórmula do montante e isolar C, que é o capital inicial:

$\dpi{120} \mathrm{M=C(1+i)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{13000=C(1+0,03)^{24}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{13000=C(1,03)^{24}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{C = \frac{13000}{(1,03)^{24}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{C = 6395,13}$

Portanto, o empréstimo feito foi de R$ 6.395,13.

Resolução da questão 4

Temos:

Capital inicial: C = 9000;

Tempo de aplicação: t = 3 anos;

Montante: M = 10500.

Queremos saber a taxa de aplicação. Então, vamos aplicar esses valores na fórmula do montante e isolar i, que é a taxa de aplicação:

$\dpi{120} \mathrm{M=C(1+i)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{10500=9000(1+i)^3}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{10500}{9000}=(1+i)^3}$

Aplicamos a raiz cúbica para sumir com o expoente em i, já que queremos isolar i.

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt[3]{\frac{10500}{9000}}=\sqrt[3]{(1+\mathrm{i})^3}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt[3]{\frac{10500}{9000}}=1+i}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ i = \sqrt[3]{\frac{10500}{9000}} - 1}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ i = 0,052}$

Portanto, a taxa de aplicação foi de 0,052 = 5,2% ao ano, já que o tempo de aplicação foi dado em anos.

Resolução da questão 5

Temos:

Capital inicial: C = 15000;

Taxa de aplicação: i = 3% = 0,03 ao ano;

Montante: M = 18000.

Queremos saber a tempo de aplicação. Então, vamos aplicar esses valores na fórmula do montante e isolar t, que é o tempo de aplicação:

$\dpi{120} \mathrm{M=C(1+i)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{18000=15000(1+0,03)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{18000}{15000}=(1,03)^t}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{1,2=(1,03)^t}$

Aplicamos logaritmo em ambos os lados da equação:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\, 1,2=log\, 1,03^t}$

Uma das propriedades de logaritmo é que o expoente desce e passa a multiplicar o logaritmo:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{log\, 1,2=t\cdot log\, 1,03}$

Dessa forma, conseguimos isolar t:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{t = \frac{log\, 1,2}{log\, 1,03}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{t = 6,17}$

Portanto, o tempo de aplicação para obter R$ 18.000 deve ser de 6 anos e dois meses (17% de um ano), aproximadamente.

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