Lista de exercícios de números complexos
Confira uma lista com vários exercícios resolvidos, passo a passo, sobre os números complexos.
Os números complexos possibilitam resolver problemas matemáticos que não possuem soluções no conjunto dos números reais.
Em um número complexo escrito como , dizemos que
é a parte real,
é a parte imaginária e
é a unidade imaginária.
Para realizar operações com números complexos, existem algumas expressões que facilitam os cálculos. Considere e
.
Expressão da adição entre números complexos:
Expressão da subtração entre números complexos:
Expressão da multiplicação entre números complexos:
Expressão da divisão entre números complexos:
Veja, a seguir, uma lista de questões resolvidas com exercícios sobre números complexos. Aprenda a utilizar cada um dos conceitos envolvendo esses números!
Lista de exercícios sobre números complexos
Questão 1. Considerando os números complexos ,
e
determine o valor de
, quando
.
Questão 2. Encontre os valores de e
de tal forma que
.
Questão 3. Considerando os números complexos e
, determine o valor de
, quando
e
.
Questão 4. Calcule o valor de e
para que
, quando
e
.
Questão 5. Determine o valor de para que
seja um número imaginário puro.
Questão 6. Calcule as seguintes potências da unidade imaginária :
a)
b)
c)
d)
Questão 7. Encontre a solução da equação no conjunto dos números complexos.
Questão 8. Determine a solução da equação no conjunto dos números complexos.
Resolução da questão 1
Temos e
e
e queremos determinar o valor de
, quando
.
Primeiro, vamos calcular e
, separadamente:
Agora, vamos calcular :
Resolução da questão 2
Queremos encontrar x e y de forma que .
Pela expressão da soma entre dois números complexos, temos que se:
Então, devemos ter e
. Vamos resolver essas duas equações para encontrar x e y.
Resolução da questão 3
Temos e
e queremos determinar o valor de
, quando
e
.
Primeiro, calculamos .
Pela expressão da multiplicação entre dois números complexos, temos que:
Agora, vamos calcular .
Portanto, .
Resolução da questão 4
Queremos calcular o valor de e
para que
, quando
e
.
Isso significa encontrar e
de forma que:
Pela expressão da divisão entre dois números complexos, temos que:
Juntando as duas condições, devemos ter:
Ou seja:
Vamos resolver cada uma dessas equações, começando pela segunda que só depende de p.
Agora, encontramos q pela outra equação:
Resolução da questão 5
Queremos encontrar o valor de para que
seja um número imaginário puro.
Um número imaginário puro é aquele cuja parte real é igual a zero.
Considerando a expressão da divisão entre dois números complexos, temos que:
Para que esse número seja imaginário puro, devemos ter:
Resolução da questão 6
Pela definição de potências e de números complexos temos que:
Observe um padrão que se repete a cada quatro potências sucessivas: 1, i, -1 e -i.
Dessa forma, para encontrar o resultado em qualquer potência de i, basta dividir o expoente por 4. O resto da divisão será 0, 1, 2 ou 3 e esse valor será o expoente que devemos utilizar.
a)
16 : 4 = 4 e o resto é 0.
Então, .
b)
200 : 4 = 50 e o resto é 0.
Então, .
c)
829 : 4 = 207 e o resto é 1.
Então, .
d)
11475 : 4 = 2868 e o resto é 3.
Então, .
Resolução da questão 7
Encontrar a solução de .
Como , então,
.
Resolução da questão 8
Encontrar a solução de .
Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Como , então:
Assim, temos duas soluções:
e
.
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