Exercícios sobre radiciação

Veja uma lista de exercícios resolvidos sobre radiciação, envolvendo o uso de propriedades, operações entre radicais, e muito mais!

Por Elainy Marciano Publicado em 13/05/2020 - 14:56

A radiciação é uma operação matemática que possui muitas propriedades interessantes e se caracteriza como a operação inversa a potenciação.

Assim, para se sair bem nos exercícios envolvendo radiciação, é muito importante saber, também, calcular potências e usar suas propriedades.

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A seguir, temos uma lista de exercícios resolvidos sobre radiciação. Confira e fique fera no assunto!

Lista de exercícios sobre radiciação

Questão 1. Em cada item, calcule a soma dos radicais:

a) $\dpi{120} 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} +\sqrt{2}$

b) $\dpi{120} 3\sqrt[4]5{} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}$

c) $\dpi{120} \sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{75}$

Questão 2. Em cada item, calcule o produto dos radicais:

a) $\dpi{120} \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}$

b) $\dpi{120} \sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[4]{27}$

c) $\dpi{120} \sqrt{12}\cdot \sqrt[3]{36}$

Questão 3. Em cada item, calcule a divisão dos radicais:

a) $\dpi{120} \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}}$

b) $\dpi{120} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}$

c) $\dpi{120} \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}}$

Questão 4. Determine o valor da seguinte soma de radicais:

$\dpi{120} \sqrt{2}+ \frac{1}{\sqrt{2}}$

Questão 5. Determine o valor da seguinte expressão:

$\dpi{120} \sqrt[]{\sqrt[]{16}} + \sqrt[3]{\sqrt[3]{27^3}} +\sqrt[3]{\sqrt[]{64}}$

Questão 6. Calcule o valor de:

$\dpi{120} \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[3]{27}}}}$

Questão 7. Encontre o valor de A, quando:

$\dpi{120} A = \sqrt{\frac{5^{n+3}- 5^{n+2}}{5^n}}$

Questão 8. Sabendo que $\dpi{120} a = 81b$ , calcule o valor de:

$\dpi{120} \frac{\sqrt{b\, {\sqrt{a}}}\, \cdot\sqrt{a} }{\sqrt{a\, {\sqrt{b}}}\, \cdot\sqrt{b} }$

Resolução da questão 1

a) $\dpi{120} 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} +\sqrt{2} = (2 - 4 +1)\cdot {\sqrt{2}} = \mathbf{- {\sqrt{2}}}$

b) $\dpi{120} 3\sqrt[4]5{} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5} = (3 - 2 - 1)\cdot \sqrt[4]{5} = \mathbf{0}$

c) $\dpi{120} \sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{75}$

Fazendo a decomposição dos números 12 e 75, temos que:

$\dpi{120} 12 = 2^2\cdot 3$ e $\dpi{120} 75 = 5^2\cdot 3$

Substituindo na expressão e resolvendo:

$\dpi{120} \flushleft \sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{75} =\\ \sqrt{2^2\cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{5^2 \cdot 3} =\\ 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 10\sqrt{3} =\\ (2 - 3 + 10) \sqrt{3} =\\ \mathbf{9\sqrt{3}}$

Resolução da questão 2

a) $\dpi{120} \sqrt{2}\cdot \sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot 3} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot \sqrt{3} = (\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$

b) $\dpi{120} \sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{3^2}\cdot \sqrt[4]{3^3}$

Agora, vamos reduzir os índices a um índice comum, calculando o mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 4.

MMC(2, 3, 4) = 12

Dividimos 12 por cada um dos índices (2, 3 e 4) e o resultado, multiplicamos pelos expoentes (1, 2 e 3).

12 : 2 = 6 e 6 x 1 = 6

12 : 3 = 4 e 4 x 2 = 8

12: 4 = 3 e 3 x 3 = 9

Então, temos que:

$\dpi{120} \sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{3^2}\cdot \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[12]{3^6}\cdot \sqrt[12]{3^8}\cdot \sqrt[12]{3^9} = \sqrt[12]{3^6\cdot 3^8\cdot 3^9} = \sqrt[12]{3^{23}} = \mathbf{3\sqrt[12]{3^{11}}}$

c) $\dpi{120} \sqrt{12}\cdot \sqrt[3]{36}$

Vamos reduzir a um mesmo índice comum:

MMC(2, 3) = 6

Dividimos 6 por cada um dos índices (2 e 3) e o resultado, multiplicamos pelos expoentes (1 e 1).

6 : 2 = 3 e 3 x 1 = 3

6 : 3 = 2 e 2 x 1 = 2

Então, temos que:

$\dpi{120} \sqrt{12}\cdot \sqrt[3]{36} = \sqrt[6]{12^3}\cdot \sqrt[6]{36^2}$

Decompondo os números 12 e 36, temos que:

$\dpi{120} \flushleft \sqrt[6]{12^3}\cdot \sqrt[6]{36^2} = \sqrt[6]{(2^2\cdot 3)^3\cdot (2^2\cdot 3^2)^2} = \sqrt[6]{2^6\cdot 3^3\cdot 2^4\cdot 3^4} = \sqrt[6]{2^{10}\cdot 3^7} = \mathbf{6 \sqrt[6]{2^{4}\cdot 3}}$

Resolução da questão 3

a) $\dpi{120} \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} =\sqrt[6]{\frac{128}{16}} = \sqrt[6]{\frac{2^7}{2^4}} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2}= \sqrt{2}$

b) $\dpi{120} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}$

Vamos reduzir a um mesmo índice:

MMC(3, 2) = 6

Dividimos 6 por cada um dos índices (3 2) e o resultado, multiplicamos pelos expoentes (1 e 1).

6 : 3 = 2 e 2 x 1 = 2

6 : 2 = 3 e 3 x 1 = 3

Então, temos que:

$\dpi{120} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[6]{4^2}}{\sqrt[6]{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{(2^2)^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}} = \mathbf{\sqrt[6]{2}}$

c) $\dpi{120} \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}}$

MMC(2, 3) = 6

$\dpi{120} \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}} = \sqrt[6]{\frac{(2^8)^3}{(2^4)^2}} = \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}=\sqrt[6]{2^{16}} =\sqrt[3]{2^{8}} = \sqrt[3]{2^3\cdot 2^3\cdot 2^{2}} = 4 \sqrt[3]{4}$

Resolução da questão 4

Vamos multiplicar e dividir o segundo termo por $\sqrt{2}$

$\dpi{120} \sqrt{2}+ \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} +\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} =$

Fazendo a multiplicação das frações, temos que:

$\sqrt{2} +\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} =\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} =$

Colocando o fator comum em evidência:

$\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \Bigg( 1 + \frac{1}{2}\Bigg)\sqrt{2} = \mathbf{\frac{3}{2}\sqrt{2}}$ .

Resolução da questão 5

$\dpi{120} \flushleft \sqrt[]{\sqrt[]{16}} + \sqrt[3]{\sqrt[3]{27^3}} +\sqrt[3]{\sqrt[]{64}} = \sqrt[2.2]{16} + \sqrt[3.3]{27^3} + \sqrt[3.2]{64} = \sqrt[4]{16} + \sqrt[9]{27^3} + \sqrt[6]{64} =$

Fazendo a decomposição dos números, temos que: $16= 2^4, 27 = 3^3 \: e\: 64 = 2^6$ . Então:

$\sqrt[4]{16} + \sqrt[9]{27^3} + \sqrt[6]{64} = \sqrt[4]{2^4} + \sqrt[9]{(3^3)^3} + \sqrt[6]{2^6} = 2 + 3 + 2 = \mathbf{7}$

Resolução da questão 6

$\dpi{120} \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[3]{27}}}}$

Observe que $\sqrt[3]{27} = 3, \: \mathrm{pois}\: 3^3 = 27$ . Substituindo $\sqrt[3]{27}$ por 3, temos que:

$\dpi{120} \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[3]{27}}}} = \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, \sqrt[3]{9\cdot 3}}} = \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, \sqrt[3]{27}}}=$

Novamente, apareceu o termo $\sqrt[3]{27}$ , vamos substituir por 3:

$\sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, \sqrt[3]{27}}}= \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{9\cdot \, 3}} = \sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{27}}=$

Mais uma vez:

$\sqrt[3]{9\,\cdot \sqrt[3]{27}}= \sqrt[3]{9\,\cdot 3} = \sqrt[3]{27} = \mathbf{3}$ .

Resolução da questão 7

$\dpi{120} A = \sqrt{\frac{5^{n+3}- 5^{n+2}}{5^n}} = \sqrt{\frac{5^n\cdot 5^3- 5^n\cdot 5^2}{5^n}} = \sqrt{\frac{5^n(5^3- 5^2)}{5^n}}$

Cancelando o termo , temos que:

$A = \sqrt{(5^3 - 5^2)} = \sqrt{125 - 25} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$

Resolução da questão 8

Pela propriedade $\sqrt[n]{x\cdot y} = \sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}$ , temos que:

$\dpi{120} \frac{\sqrt{b\, {\sqrt{a}}}\, \cdot\sqrt{a} }{\sqrt{a\, {\sqrt{b}}}\, \cdot\sqrt{b} } = \frac{\sqrt{b}\cdot \sqrt{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{\sqrt{b}}\cdot \sqrt{b}}$

Cancelando os termos $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ , temos:

$= \frac{\sqrt{b}\cdot \sqrt{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{\sqrt{b}}\cdot \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{\sqrt{a}}}{\sqrt{\sqrt{b}}} = \frac{\sqrt[2.2]{a}}{\sqrt[2.2]{b}} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{\frac{a}{b}}$

Como $\dpi{120} a = 81b$ , vamos substituir:

$\sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \sqrt[4]{\frac{81b}{b}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4}= \mathbf{3}$

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