Lista de exercícios sobre diagonal do bloco retangular

Confira uma lista de exercícios resolvidos e aprenda mais sobre a diagonal do bloco retangular (paralelepípedo retângulo).

Por Elainy Marciano Publicado em 04/11/2020 - 18:08

O bloco retangular ou paralelepípedo retângulo é um prisma de faces retangulares e a medida da sua diagonal pode ser obtida pela seguinte fórmula:

$\dpi{120} \mathrm{D= \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$

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Em que:

a: comprimento do bloco;
b: largura do bloco;
c: altura do bloco.

Outras fórmulas importantes no estudo do bloco retangular são:

Área da base:

$\dpi{120} \mathrm{A_b=a\cdot b}$

Área lateral:

$\dpi{120} \mathrm{A_l = 2(ac +bc)}$

Área total:

$\dpi{120} \mathrm{A_t=2(ab+ac+bc)}$

Volume:

$\dpi{120} \mathrm{V=abc}$

Para aprender mais sobre esse assunto, confira uma lista de exercícios sobre diagonal do bloco retangular, todos com resolução completa.

Exercícios sobre diagonal do bloco retangular

Questão 1. Determine a medida da diagonal de um bloco retangular de 15 centímetros de comprimento, 10 centímetros de largura e 7 centímetros de altura.

Questão 2. Determine a altura de um bloco retangular com 20 centímetros de comprimento, 20 centímetros de largura diagonal medindo 20√3.

Questão 3. Calcule a área total de um bloco retangular com 9 centímetros de comprimento, 6 centímetros de largura e diagonal medindo $\sqrt{142}$ .

Questão 4. Determine a medida da diagonal de um cubo, sabendo que o volume é igual a 216 centímetros cúbicos.

Resolução da questão 1

Temos a = 15 cm, b = 10 cm e c = 7 cm. Vamos substituir esses valores na fórmula da diagonal do bloco retangular:

$\dpi{120} \mathrm{D= \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D= \sqrt{15^2 +10^2 +7^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D= \sqrt{225 +100 +49}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D= \sqrt{374}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D\approx 19,33}$

Portanto, a diagonal mede aproximadamente 19,33 centímetros.

Resolução da questão 2

Temos a= 20 cm, b = 20 cm e D = 20√3. Vamos substituir esses valores na fórmula da diagonal do bloco retangular, para determinar a altura.

$\dpi{120} \mathrm{D= \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{20\sqrt{3}= \sqrt{20^2 +20^2 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt{3\cdot 20^2}= \sqrt{400 + 400 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt{3\cdot 400}= \sqrt{800 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt{1200}= \sqrt{800 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{1200= 800 +c^2}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c^2 = 1200- 800}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c^2 = 400}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c = 20}$

Portanto, a altura do bloco retangular é igual a 20 centímetros.

Resolução da questão 3

Temos a = 9 cm, b = 6 cm e D = √142. Vamos substituir esses valores na fórmula da diagonal do bloco retangular, para determinar a altura.

$\dpi{120} \mathrm{D= \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt{142}= \sqrt{9^2 +6^2 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\sqrt{142}= \sqrt{117+c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{142= 117+c^2}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c^2 = 142 - 117}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c^2 = 25}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c = 5}$

Agora, calculamos a área total do bloco retangular:

$\dpi{120} \mathrm{A_t=2\cdot (ab+ac+bc)}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t=2\cdot (9\cdot 6+9\cdot 5+6\cdot 5)}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t=2\cdot (54+45+30)}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t=2\cdot 129}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{A_t=258}$

Portanto, a área total do bloco retangular é igual a 258 cm².

Resolução da questão 4

No cubo, as três dimensões são iguais, ou seja, a = b = c. Assim, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{V = a . a . a = a^3}$

Como V = 216 cm³, então:

$\dpi{120} \mathrm{216 = a^3}$

$\dpi{120} \mathrm{a=\sqrt[3]{216}}$

$\dpi{120} \mathrm{a=6}$

Agora, calculamos a medida da diagonal:

$\dpi{120} \mathrm{D= \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D= \sqrt{6^2 +6^2 +6^2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D= \sqrt{108}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{D= 6\sqrt{3}}$

Portanto, a medida da diagonal do cubo é igual a 6√3 centímetros.

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