Diagonal do bloco retangular

A diagonal do bloco retangular pode ser determinada por uma fórmula que só depende do comprimento, largura e altura do bloco.

A diagonal do bloco retangular é o segmento de reta que liga dois vértices que estão em faces distintas, ou seja, a diagonal do bloco sempre deve passar pelo interior da figura.

Bloco retangular

O bloco retangular, que também é chamado de paralelepípedo retângulo, é um tipo de prisma reto, cujas faces são todas retangulares.

As dimensões de um bloco retangular são: comprimento (a), largura (b) e altura (c). A partir dessas dimensões, podemos determinar a medida da sua diagonal (d).

Fórmula da diagonal do bloco retangular

A fórmula para calcular a medida da diagonal do bloco retangular é:

\dpi{120} \mathbf{d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Em que:

  • a: comprimento do bloco;
  • b: largura do bloco;
  • c: altura do bloco.

Exemplo:

Determine a medida da diagonal do bloco retangular com as dimensões especificadas na figura abaixo.

Bloco retangular

Temos: a = 5 m, b = 4m e c = 2,5 m. Vamos aplicar esses valores na fórmula:

\dpi{120} \mathrm{d = \sqrt{5^2 + 4^2 + (2,5)^2}}

\dpi{120} \mathrm{d = \sqrt{47,25}}

\dpi{120} \mathrm{d \simeq 6,87}

Demonstração da fórmula

A demonstração de que essa fórmula é verdadeira é feita a partir do Teorema de Pitágoras.

Observe na figura abaixo que a diagonal d é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos c e x, sendo c a altura e x uma medida, por enquanto, desconhecida.

Fórmula da diagonal do bloco retangular

Pelo teorema de Pitágoras, temos que:

\dpi{120} \mathrm{d^2 = c^2 + x^2 }

Aplicando a raiz em ambos os lados da equação, temos que:

\dpi{120} \mathrm{d = \sqrt{c^2 + x^2 }}

A ideia é obter uma fórmula que só dependa das dimensões a, b e c do bloco retangular. Para isso, veja que x é a diagonal do retângulo de dimensões a e b, que é uma das faces do bloco. Então, temos que:

\dpi{120} \mathrm{x = \sqrt{a^2 + b^2}}

Ou, ainda, de modo equivalente, elevando ao quadrado ambos os lados:

\dpi{120} \mathrm{x^2 = a^2 + b^2}

Substituindo x² na fórmula da diagonal, temos que:

\dpi{120} \mathrm{d = \sqrt{a^2 + b^2 +c^2 }}

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