Fatoração de expressão algébrica

Existem várias técnicas para fazer a fatoração de expressões algébricas. Conheça as mais utilizadas!

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Expressões algébricas são expressões que apresentam números e variáveis, e fazer a fatoração de expressão algébrica significa escrever a expressão como uma multiplicação de dois ou mais termos.

A fatoração de expressões algébricas pode facilitar muitos cálculos algébricos, pois, quando fatoramos, podemos simplificar a expressão. Mas como fatorar expressões algébricas?

Para fatorar expressões algébricas, utilizamos as técnicas que veremos a seguir.

Fatoração por evidência

A fatoração por evidência consiste em colocar em evidência um termo comum na expressão algébrica.

Esse termo comum pode ser apenas um número, uma variável ou uma multiplicação dos dois, ou seja, é um monômio.

Exemplo:

Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}.

Observe que nos dois termos dessa expressão aparece a variável \dpi{120} \mathrm{x}, então, vamos colocá-la em evidência:

\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 = x\cdot (3y-2x)}

Fatoração por agrupamento

Na fatoração por agrupamento, agrupamos os termos que possuem um fator em comum. Depois, colocamos o fator comum em evidência.

Dessa forma, o fator comum é um polinômio e não mais um monômio, como no caso anterior.

Exemplo:

Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}.

Observe que a expressão é formada por uma soma de vários termos e que, em alguns termos, aparece \dpi{120} \mathrm{x^2} e, em outros, aparece \dpi{120} \mathrm{y}.

Vamos reescrever a expressão, agrupando esses termos:

\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}

Vamos colocar as variáveis \dpi{120} \mathrm{x^2} e \dpi{120} \mathrm{y} em evidência:

\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y(2a+10)}

Agora, veja que o termo \dpi{120} \mathrm{y(2a + 10)} pode ser reescrito como \dpi{120} \mathrm{y(2a + 2\cdot 5)}, de onde podemos colocar o número 2 em evidência também:

\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y(a+5)}

Como o polinômio \dpi{120} \mathrm{(a+5)} aparece nos dois termos, podemos colocar em evidência mais uma vez:

\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}

Portanto, \dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y = (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}.

Fatoração da diferença de dois quadrados

Se a expressão for uma diferença de dois quadrados, ela pode ser escrita como o produto da soma das bases pela diferença das bases. Trata-se de um dos produtos notáveis:

\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) = (a +b)\cdot (a-b)}

Exemplo:

Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}.

Observe que essa expressão pode ser reescrita como \dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}, ou seja, é uma diferença de dois termos quadrados, cujas bases são 9 e 2x.

Então, vamos escrever a expressão como o produto da soma das bases pela diferença das bases:

\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 = (9+2x)\cdot (9-2x)}

Fatoração do trinômio do quadrado perfeito

Na fatoração do trinômio do quadrado perfeito, também utilizamos os produtos notáveis e escrevemos a expressão como o quadrado da soma ou quadrado da diferença entre dois termos:

\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 = (a + b)\cdot (a+b) = (a+b)^2}

\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 = (a - b)\cdot (a-b) = (a-b)^2}

Exemplo:

Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}.

Observe que a expressão é um trinômio quadrado perfeito, pois \dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} = x} , \dpi{120} \sqrt{121}=11 e \dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 = 22y}.

Então, podemos fatorar a expressão, escrevendo-a como o quadrado da soma de dois termos:

\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121 = (x + 11)\cdot (x + 11) = (x + 11)^2}

Fatoração do cubo perfeito

Se a expressão for um cubo perfeito, fatoramos escrevendo a expressão como o cubo da soma ou cubo da diferença.

\dpi{120} \mathrm{a^3 + 3a^2b + 3b^2a + b^3 = (a + b)^3 }

\dpi{120} \mathrm{a^3 - 3a^2b + 3b^2a + b^3 = (a - b)^3 }

Exemplo:

Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}.

Essa expressão é um cubo perfeito, pois:

\dpi{120} \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} = x}

\dpi{120} \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2

\dpi{120} \mathrm{3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2}

\dpi{120} \mathrm{3\cdot 2^2\cdot x = 12x}

Então, podemos fatorar a expressão, escrevendo-a como o cubo da soma de dois termos:

\dpi{120} \mathrm{x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3}

Fatoração da soma ou diferença de dois cubos

Se a expressão for uma soma ou diferença de dois cubos, podemos fatorar da seguinte forma:

\dpi{120} \mathrm{a^3 + b^3 = (a+b)\cdot (a^2 - ab+b^2)}

\dpi{120} \mathrm{a^3 - b^3 = (a-b)\cdot (a^2 - ab+b^2)}

Exemplo:

Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{x^3 - 64}.

Observe que a expressão pode ser escrita como \dpi{120} \mathrm{x^3 - 4^3} , portanto, trata-se de uma diferença de dois cubos.

Então, podemos fatorar a expressão do seguinte modo:

\dpi{120} \mathrm{x^3 - 64 = (x - 4)\cdot (x^2 - 4x+16)}

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