Frações algébricas

Aprenda sobre as frações com polinômios. Saiba como simplificar, fazer adição, subtração, multiplicação e divisão!

Frações algébricas são quocientes de dois polinômios, representados na forma fracionária.

Exemplo: O quociente \dpi{120} \mathrm{(2x + 3) : (y -1)} pode ser escrito como \dpi{120} \mathrm{\frac{2x + 3}{y -1}}, que é uma fração algébrica.

Nas frações algébricas, o denominador sempre apresenta pelo menos uma variável e deve sempre ser um número real diferente de zero.

Na fração acima, devemos ter  \dpi{120} \mathrm{y-1 \neq 0}, ou seja, \dpi{120} \mathrm{y \neq 1}.

Simplificação de frações algébricas

Em frações numéricas a simplificação pode ser feita a partir da decomposição dos termos em fatores primos e do cancelamento dos fatores iguais.

Na simplificação de frações algébricas, seguimos esse mesmo procedimento.

Exemplos:

a) Simplificar  \dpi{120} \mathrm{\frac{15a}{5ab}}.

\dpi{120} \mathrm{\frac{15a}{5ab} = \frac{3\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{\mathrm{a}}}{\cancel{5}\cdot \cancel{\mathrm{a}}\cdot b} = \frac{3}{b}}

b) Simplificar \dpi{120} \mathrm{\frac{3x^5y^3}{6x^3y^5}}.

\dpi{120} \mathrm{\frac{3x^5y^3}{6x^3y^5}= \frac{3}{6}\cdot \frac{x^5}{x^3}\cdot\frac{y^3}{y^5} = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \frac{1}{y^2} = \frac{x^2}{2y^2}}

c) Simplificar \dpi{120} \mathrm{\frac{x^2+xy}{x^2 - y^2}}.

Nesse caso, usamos algumas técnicas de fatoração de polinômios, colocamos o fator comum em evidência no numerador e fatoramos a diferença entre dois quadrados no denominador.

\dpi{120} \mathrm{\frac{x^2+xy}{x^2 - y^2} = \frac{x\cdot \cancel{\mathrm{(x+y)}}}{\cancel{\mathrm{(x+y)}}\cdot (x-y)} = \frac{x}{x-y}}

Adição e subtração de frações algébricas

A adição e subtração de frações algébricas pode ser feita entre frações de mesmo denominador ou entre frações de denominadores diferentes.

1) Denominadores iguais

Se os denominadores das frações algébricas são iguais, somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

Exemplo: Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{3+a}{ab}+\frac{2}{ab} }.\dpi{120} \mathrm{\frac{3+a}{ab}+\frac{2}{ab} = \frac{5 +a}{ab}}

2) Denominadores diferentes

Se os denominadores das frações algébricas são diferentes, devemos calcular o MMC dos denominadores e escrever frações equivalentes com o mesmo denominador.

Depois, fazemos a adição ou subtração de acordo com o caso anterior.

Exemplo: Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{20a^3b}+\frac{ y^2 }{30a^2b^4x}}.

Para encontrar o MMC entre os polinômios, fatoramos cada um deles.

\dpi{120} \mathrm{20a^3b ={ 2^2}\cdot 5\cdot a^3\cdot b}

\dpi{120} \mathrm{30a^2b^4x= 2\cdot 3\cdot 5\cdot a^2\cdot b^4\cdot x}

O MMC é o produto entre os fatores, mas sem repetir os fatores iguais. Quando os fatores são iguais, consideramos apenas o fator de maior expoente.

\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC = 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot a^3\cdot b^4\cdot x = 60a^3b^4x }

Então, reescrevemos as frações equivalentes de mesmo denominador e efetuamos a soma, conforme o caso 1.

\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{20a^3b}+\frac{ y^2 }{30a^2b^4x} = \frac{3b^3x\cdot 7x}{60a^3b^4x}+\frac{2a\cdot y^2}{60a^3b^4x} =\frac{21b^3x^2}{60a^3b^4x}+\frac{2ay^2}{60a^3b^4x} = \frac{21b^3x^2+2ay^2}{60a^3b^4x}}

Multiplicação e divisão de frações algébricas

A multiplicação e divisão de frações algébricas é semelhante à multiplicação e divisão de frações numéricas.

Na multiplicação de frações algébricas, devemos multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores.

Já na divisão, devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração.

Exemplos:

a) Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{3y^2}\cdot \frac{3y^3}{7x^2}}.

\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{3y^2}\cdot \frac{3y^3}{7x^2} = \frac{2\cdot \cancel{\mathrm{x}}\cdot \cancel{3}\cdot y^{\cancel{3}}}{\cancel{3}\cdot \cancel{\mathrm{y^2}}\cdot 7\cdot x^{\cancel{2}}} =\frac{2y}{7x} }

b) Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{2a^2}{b}:\frac{5a^3}{2b}}.

\dpi{120} \mathrm{\frac{2a^2}{b}:\frac{5a^3}{2b}=\frac{2a^2}{b}\cdot \frac{2b}{5a^3} = \frac{2\cdot \cancel{\mathrm{a^2}}\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{b}}}{\cancel{\mathrm{b}}\cdot 5\cdot a^{\cancel{3}}} = \frac{4}{5a}}

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