Multiplicação e divisão de frações algébricas

Aprenda a calcular a multiplicação e divisão de frações com polinômios, aquelas em que aparecem variáveis. Veja exemplos!

As frações algébricas são frações em que aparecem polinômios no numerador e denominador ou pelo menos no denominador.

Exemplos:

\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}        \dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}        \dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}       \dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}

Dessa forma, a multiplicação e divisão de frações algébricas envolve cálculos entre polinômios, ou seja, envolve operações entre termos com uma ou mais variáveis.

Multiplicação de frações algébricas

A multiplicação de frações algébricas é semelhante à multiplicação de frações numéricas.

Basta multiplicar os numeradores entre si e multiplicar os denominadores entre si.

Lembre-se que na multiplicação de potências de bases iguais, conserva-se a base e soma-se os expoentes: \dpi{120} \mathrm{x^n.x^m = x^{n+ m}}.

Exemplos:

a) Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}.

\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}= \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^3} = \frac{5x^{5}}{6y^4}}

b) Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}.

\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} = \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm{a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} = \frac{y}{2ab}}

Observe que, quando fazemos a multiplicação, podemos fazer a simplificação da fração algébrica, cancelando os fatores iguais.

Divisão de frações algébricas

A divisão de frações algébricas é semelhante à divisão de frações numéricas. Basta conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração.

O inverso da segunda fração é obtido trocando o numerador e denominador de lugar.

Exemplos:

a) Calcular  \dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}.

Conservando a primeira fração e multiplicando pelo inverso da segunda, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} = \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }

Então, só precisamos resolver essa multiplicação entre frações:

\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} = \frac{12xy}{8x^5y} =\frac{3}{2x^4} }

Portanto, o resultado da divisão é:

\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} = \frac{3}{2x^4}}

b) Calcular \dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}.

Conservando a primeira fração e multiplicando pelo inverso da segunda, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} = \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} }

Agora, resolvemos a multiplicação entre frações:

\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} = \frac{a\cdot (b^2-1)}{a^4\cdot (b+1)} = \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}} = \frac{b-1}{a^3}}

Para simplificar, na segunda igualdade, usamos a fatoração da diferença de dois quadrados.

Portanto, o resultado da divisão é:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} = \frac{b-1}{a^3}}

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