Função logarítmica

Saiba o que é a função logarítmica, seu domínio e imagem, gráfico e entenda quando a função é crescente ou decrescente. Veja exemplos!

Por Elainy Marciano Publicado em 06/08/2020 - 22:14

A função logarítmica é qualquer função que possui a seguinte forma:

$\dpi{120} \boldsymbol{f(x) = log_a\, x}$

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Em que $\dpi{120} \boldsymbol{a>0}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{a\neq 1}$ , pois, em um logaritmo, a base ( $\dpi{120} \boldsymbol{a}$ ) deve ser sempre um número maior que zero e diferente de 1.

O logaritmando também deve ser sempre um valor maior que zero, ou seja, $\dpi{120} x>0$ .

Exemplos de função logarítmica:

$\dpi{120} f(x) = log_2\, x$

$\dpi{120} f(x) = log_\frac{1}{2}\, x$

$\dpi{120} f(x) = log_{10}\, (x + 1)$

$\dpi{120} f(x) = log_e\, x$

Nesse último exemplo, temos a função logaritmo natural, em que a base $\dpi{120} e$ é aproximadamente igual a 2,71. Podemos escrever essa função, simplesmente, como $\dpi{120} f(x) = ln\, x$ .

Domínio e imagem da função logarítmica

Em um logaritmo, além da base ser um valor maior que zero, o logaritmando também deve ser um valor maior que zero.

Assim, para saber o domínio da função logarítmica, devemos verificar quais os valores de $\dpi{120} x$ que satisfazem essa condição.

Exemplo: Na função $\dpi{120} f(x) = log_a\, x$ , o logaritmando é o próprio $\dpi{120} x$ , então, devemos ter $\dpi{120} x>0$ . Nesse caso, $\dpi{120} D = \{x \in \mathbb{R}_+^*\}$ .

Agora, suponha que a função seja $\dpi{120} f(x) = log_a\, (x - 3)$ . O logaritmando é $\dpi{120} x - 3$ , então, devemos ter $\dpi{120} x - 3>0$ .

$\dpi{120} x - 3>0\Rightarrow x > 3$

Nesse caso, $\dpi{120} D = \{x \in \mathbb{R} | \, x >3\}$

Como você pode ver, devemos ter um certo cuidado na hora de avaliar o domínio de funções que envolvem o logaritmo.

Já para a imagem da função logarítmica não há restrições, a imagem é sempre o conjunto dos números reais.

$\dpi{120} Im=\mathbb{R}$

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logarítmica $\dpi{120} f(x) = log_a\, x$ é uma curva que sempre passa pelo ponto (1,0).

Isso acontece pois $\dpi{120} a^0 = 1$ para qualquer que seja o valor de $\dpi{120} a$ , então, temos $\dpi{120} f(1) = log_a\, 1 = 0$ sempre.

Além disso, a função está sempre no lado direito do sistema de coordenadas, onde os valores de x são positivos. Lembre-se do domínio da função logarítmica $\dpi{120} f(x) = log_a\, x$ .

A curva é crescente ou decrescente de acordo com o valor da base $\dpi{120} a$ .