Função quadrática

Entenda o que é uma função quadrática, como é o gráfico desse tipo de função, quais são suas propriedades e como encontrar as suas raízes ou zeros.

A função quadrática ou função do 2° grau é uma função com a seguinte forma:

\dpi{150} f(x)=ax^2 + bx + c

Em que \dpi{120} a, b \: \mathrm{e} \: c são números reais e \dpi{120} a \neq 0.

Observe que o termo quadrático \dpi{120} ax^2 sempre deve aparecer em uma função quadrática, já que \dpi{120} a \neq 0. No entanto, nem sempre teremos os termos \dpi{120} bx e \dpi{120} c, uma vez que \dpi{120} b \: \mathrm{e} \: c podem ser iguais a zero.

Vamos ver alguns exemplos de função quadrática:

a) \dpi{120} f(x) = 3x^2 + 5x -2          →   Temos \dpi{120} a=3, b= 5 \: e\: c=-2

b) \dpi{120} f(x) = x^2 + x + 1               →   Temos \dpi{120} a=1, b= 1 \: e\: c=1

c) \dpi{120} f(x) = -25x^2 + 5               →   Temos \dpi{120} a=-25, b= 0 \: e\: c=5

d) \dpi{120} f(x) = 2x^2 - 4x                  →   Temos \dpi{120} a=2, b= 4 \: e\: c=0

d) \dpi{120} f(x) = -6x^2                         →   Temos \dpi{120} a=-6, b= 0 \: e\: c=0

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, que pode ser traçada quando atribuímos valores para x e calculamos y = f(x), determinando vários pares ordenados (x, y).

Além disso, existem algumas propriedades da função quadrática que podem nos ajudar na construção do seu gráfico.

Concavidade da parábola

O valor da constante \dpi{150} a na função quadrática é o que determinará a concavidade da parábola. Se \dpi{150} a for um valor positivo, então a parábola tem concavidade para cima e se \dpi{150} a for um valor negativo, a parábola tem concavidade para baixo.

Concavidade da parábola
Concavidade da parábola.

Vértice da parábola

O vértice de uma parábola é o ponto \dpi{120} V(x_v,y_v) onde a curva muda o sentido, torna-se crescente quando é côncava para cima ou torna-se decrescente, quando é côncava para baixo.

Podemos encontrar as coordenadas desse ponto da seguinte forma:

\dpi{120} x_v =\frac{-b}{2.a} \: \: e\: \: y_v = \frac{-\Delta }{4.a}

Onde \dpi{120} \Delta = b^2 - 4.a.c é o discriminante.

Raízes ou zeros de uma função quadrática

A raízes ou zeros de uma função quadrática são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. Para encontrar esses valores devemos encontrar as soluções da seguinte equação do 2° grau:\dpi{150} ax^2 + bx + c = 0

Uma das formas de encontrar os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira, é utilizando a fórmula de Bhaskara:

\dpi{150} x =\frac{ -b \pm \sqrt{\Delta }}{2.a}

Em que:\dpi{150} \Delta = b^2 - 4.a.c

Além disso, também podemos saber em qual ponto o gráfico intercepta o eixo y. Para isso, só temos que calcular y = f(0), isto é, substituir x por 0 e calcular o valor de y correspondente.

Exemplo

Vamos analisar a função quadrática:

\dpi{120} f(x) = x^2 - 3x -4

Temos \dpi{120} a = 1, b= -3\: e \: c =-4.

Concavidade:

Voltada para cima, pois \dpi{120} a > 0.

Vértice: 

\dpi{120} x_v =\frac{-b}{2.a} = \frac{3}{2} = 1,5

\dpi{120} \Delta = b^2 - 4.a.c= (-3)^2 - 4.1.-4 = 9+ 16 = 25

\dpi{120} y_v = \frac{-\Delta }{4.a} = \frac{-25}{4} = -6,25

Assim, o vértice é o ponto (1,5 ; -6,25).

Raízes:

\dpi{120} x =\frac{ -b \pm \sqrt{\Delta }}{2.a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}= \frac{3 \pm 5}{2}

\dpi{120} x_1 = \frac{8}{2} = 4

\dpi{120} x_2 = \frac{-2}{2} = -1

Logo, a parábola intercepta o eixo x nos valores -1 e 4.

Ponto de Intercepto no eixo y:

\dpi{120} f(x) = x^2 - 3x -4 então: \dpi{120} f(0) = 0^2 - 3.0 -4 = -4

Portanto, a parábola intercepta o eixo y no valor -4.Exemplo de função quadrática

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