Número de ouro

Conheça o número de ouro, um dos mais intrigantes e fascinantes da matemática. Ele está presente em quase tudo o que há na natureza, sendo chamado até de proporção áurea.

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O número de ouro é um dos números que, provavelmente, tenha intrigado mais os matemáticos ao longo da história. Ele é chamado assim por estar associado à perfeição, à simetria e tudo que há de mais bonito e harmônico.

Conhecido, ainda, como proporção áurea, o número de ouro está relacionado à beleza singular das plantas, folhas, flores, conchas, ondas do mar, obras de arte, construções, músicas, poesias, corpo humano e mais uma infinidade de coisas.

Babosa espiral - proporção áurea
Proporção áurea em babosa espiral.

Qual é o número de ouro

O número que está por trás de tanta beleza é representado pela letra grega Phi (\dpi{120} \boldsymbol{\varphi}), em homenagem ao escultor grego Fídias, e o seu valor aproximado é 1,618033.

\dpi{120} \boldsymbol{\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1,618033...}

Como encontrar o número de ouro

Podemos encontrar o número de ouro ou proporção áurea a partir de um segmento de reta com certas especificações.

Considera-se um segmento de reta dividido em dois segmentos, um maior e outro menor, de forma que o segmento completo (a + b) dividido pelo segmento maior (a) é igual o segmento maior (a) dividido pelo menor (b).

Segmento áureo

\dpi{120} \mathbf{\frac{a+b}{{\color{DarkRed} a}} = \frac{{\color{DarkRed} a}}{{\color{DarkBlue} b}}}

Qualquer segmento com essas propriedades é chamado de segmento áureo, e temos que:

\dpi{120} \mathbf{\frac{a+b}{{\color{DarkRed} a}} = \frac{{\color{DarkRed} a}}{{\color{DarkBlue} b}}= \boldsymbol{\varphi} \simeq 1, 618033...}

Podemos mostrar que isso é verdade, considerando o lado menor igual a 1, ou seja, b =1.

\dpi{120} \mathrm{\frac{a+ 1}{a} = \frac{a}{1}}

Então, multiplicamos cruzado:

\dpi{120} \mathrm{a^2 = a + 1}

E chegamos em uma equação do 2º grau:

\dpi{120} \mathrm{a^2 - a - 1=0}

Calculando o discriminante e aplicando a fórmula de Bhaskara, podemos encontrar as possíveis soluções dessa equação:

\dpi{120} \mathrm{a = \frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4.1.(-1)}}{2.1} = \frac{1 \pm\sqrt{5}}{2}}

\dpi{120} \mathrm{a_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033...} ou  \dpi{120} \mathrm{a_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \simeq -0,618033...}

Como proporções são valores positivos, então, consideramos apenas a primeira solução, isto é, a \dpi{120} \simeq 1,618033…

E sendo a \dpi{120} \simeq 1,618033… e b = 1, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b}= \varphi \simeq 1,618033...}

Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma sequência infinita formada apenas por números inteiros, por meio da qual, o número de ouro pode ser encontrado.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Os elementos são obtidos como a soma dos dois elementos anteriores: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, e assim por diante.

O matemático italiano conhecido como Fibonacci encontrou essa sequência ao estudar a reprodução de coelhos. Ele verificou que, ao longo de meses, o número de casais da espécie eram os números dessa sequência.

Agora, observe que a divisão de um elemento da sequência pelo elemento anterior, resulta, aproximadamente, no número de ouro:

\dpi{120} \frac{5}{3}= 1, 66...,  \dpi{120} \frac{8}{5 } = 1, 6,  \dpi{120} \frac{13}{8}=1,625,  \dpi{120} \frac{21}{13}=1, 6153...

É dessa forma que o número de ouro se relaciona com a famosa sequência de Fibonacci.

Consequentemente, estruturas que se desenvolvem conforme essa sequência carregam uma harmonia e são agradáveis de se observar.

Folhas de uma planta - Sequência de Fibonacci
Distribuição das folhas de uma planta de acordo com os números da sequência de Fibonacci.

Retângulo dourado

Outra forma de encontrar o número de ouro é a partir de um retângulo cuja base é um segmento áureo de tamanho a + b e a altura é igual à parte maior, a, de forma que:

\dpi{120} \mathbf{\frac{a+b}{{ a}} = \frac{{ a}}{{ b}} \simeq 1, 618033...}

Um retângulo com essas características é chamado de retângulo dourado.

Para verificar se um retângulo é dourado, dividimos a medida da base pela altura e se tivermos como resultado o número de ouro, \dpi{120} \varphi= 1,618033..., então, é um retângulo dourado.

Assim, em um retângulo dourado, a base (lado maior) deve ser aproximadamente 1,61 vezes maior que o lado menor.

Um outra característica fascinante de um retângulo dourado é que, se extraímos dele um quadrado de lado igual à altura, o restante da figura é outro retângulo dourado, um pouco menor que o primeiro.

Retângulo de ouro

Observe que, dessa forma, os números de Fibonacci podem ser “encaixados” no retângulo dourado. E quando traçamos um arco no retângulo dourado, obtemos uma figura chamada Espiral de Fibonacci.

Espiral de Fibonacci

Essa espiral pode ser observada com facilidade em diversas estruturas que nos cercam e, quando isso acontece, dizemos que ali existe a proporção áurea.

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