Sequência de Fibonacci

Conheça a sequência matemática considerada "divina" ou da "perfeição", por ser observada em quase tudo o que há de mais belo e agradável aos olhos!

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A sequência de Fibonacci, também conhecida como sequência divina, é chamada assim por ser observada em quase tudo o que há de mais belo na natureza e por ter aplicações em diversas áreas, como música, poesia, arquitetura, entre outras.

Formada apenas por números inteiros, a sequência de Fibonacci é infinita. Veja os primeiros números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…

Considera-se que o primeiro registro da sequência tenha sido no livro Liber Abaci (1202) do matemático italiano Leonardo Pisa, também conhecido por Fibonacci, o que levou ao nome da sequência.

Coelhos de Fibonacci

Um dos problemas clássicos que envolvem a sequência de Fibonacci e sua origem é o do crescimento de uma população de coelhos.

Com algumas suposições, Fibonacci verificou que, ao longo de meses, os coelhos se reproduziam da seguinte forma:

  • 1° mês: inicia-se com 1 casal de coelhos.
  • 2° mês: continua-se com 1 casal de coelhos, pois eles ainda não se desenvolveram o suficiente para reproduzir.
  • 3° mês: os coelhos se reproduzem e tem-se, então, 2 casais de coelhos.
  • 4° mês: o primeiro casal se reproduz novamente, mas o segundo casal ainda não se reproduz. Fica-se com 3 casais de coelhos.
  • 5° mês: o primeiro casal se reproduz, o segundo casal se reproduz, mas o terceiro casal ainda não. Fica-se, agora, com 5 casais de coelhos.
  • 6° mês: o primeiro, o segundo e o terceiro casal se reproduz, mas o quarto e o quinto casal ainda não. Totaliza-se, nesse mês, 8 casais de coelhos.

E assim por diante, ao longo do tempo.

Com isso, Fibonacci observou que o número de casais em um mês era sempre igual à soma do número de casais dos dois meses anteriores, formando uma sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Problema dos coelhos de Fibonacci
Representação do crescimento de uma população de coelhos conforme a sequência de Fibonacci.

Veja que, para saber o número de casais do 7º mês, basta somar as quantidades do 6º e 5º mês: 8 + 5 = 13.

Qualquer que seja o mês, para saber o total de coelhos, só é necessário conhecer as quantidades dos dois meses anteriores.

Fórmula da sequência de Fibonacci

Toda sequência possui uma regra que define como ela é formada, ou seja, os números da sequência não são aleatórios, há um motivo de cada um estar lá.

A sequência de Fibonacci começa pelo número 1, em seguida, vem ele mesmo, e os próximos números são obtidos pela seguinte fórmula:

\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{F_n = F_{n-1} + F_{n-2}}}

Exemplos:

Se queremos saber o 3º número da sequência, basta somar o 2º e o 1º número da sequência:

\dpi{120} {\mathrm{F_3 = F_{2} + F_{1}}} = 1 + 1 = 2

Se queremos saber o 4º número da sequência, basta somar o 3º e o 2º número da sequência:

\dpi{120} {\mathrm{F_4 = F_{3} + F_{2}}} = 2 + 1 = 3

Se quisermos saber o 5º número da sequência, basta somar o 4º e o 3º número da sequência:

\dpi{120} {\mathrm{F_5 = F_{4} + F_{3}}} = 3 + 2 = 5

Número de ouro

O número 1,61803399 é chamado de número de ouro, número áureo ou proporção de Deus, pois representa a perfeição.

Esse número está relacionado com a sequência de Fibonacci. Observe que, se dividirmos qualquer número da sequência pelo número anterior, o resultado será sempre próximo de 1,61.

Exemplos: \dpi{120} \frac{8}{5}=1,6,  \dpi{120} \frac{13}{8}= 1,625\dpi{120} \frac{21}{13}=1,6153.

Retângulo de ouro

O retângulo de ouro, ou retângulo dourado, é qualquer retângulo cuja medida da base dividida pela altura resulta no número de ouro.

Então, sempre que as medidas do retângulo são dois números consecutivos da sequência de Fibonacci, o retângulo é de ouro.

Exemplo: um retângulo de base 13 cm e altura 8 cm é um retângulo de ouro.

Uma característica importante dos retângulos de ouro é que eles são formados por outros retângulos de ouro menores.

Consequentemente, em retângulos de ouro, podemos observar a nossa belíssima sequência de Fibonacci.

Retângulo de ouro

Espiral de Fibonacci

Traçando um arco no retângulo de ouro, obtém-se a chamada de Espiral de Fibonacci.

Espiral de Fibonacci

Essa espiral pode ser amplamente percebida na natureza, em construções, em obras de arte e muitas outras coisas que são harmoniosas aos nossos olhos, por trazerem consigo a proporção áurea.

Retângulo de ouro em uma rosa
Espiral de Fibonacci observada em uma rosa.

Sequência de Fibonacci na poesia

Apesar da sequência ser referenciada ao matemático Fibonacci, alguns autores defendem que a sequência teria uma origem poética, tendo sido descrita quase dois séculos antes, por matemáticos indianos, em poemas de uma língua antiga da Índia, o sânscrito.

Contudo, não há um consenso sobre quem descobriu a sequência. Mas vamos entender como os números de Fibonacci estariam presentes nesse tipo de poesia.

No sânscrito, há sílabas curtas e largas e elas são medidas por unidades: 1 unidade, 2 unidades, e assim por diante.

Alguns poemas tinham o mesmo número de unidades por versos, mas para que isso acontecesse haviam algumas restrições em relação às sílabas serem curtas ou largas.

  • Poemas com 1 unidade em cada verso deveriam ter apenas uma sílaba curta em cada verso.
  • Poemas com 2 unidades em cada verso deveriam ter apenas uma sílaba larga ou duas sílabas curtas.
  • Poemas com 3 unidades em cada verso deveria ter apenas uma sílaba larga e uma curta, ou uma curta e uma larga, ou três sílabas curtas seguidas.

Denotando as sílabas curtas por C e as sílabas largas por L, podemos montar um quadro:

Sequência de Fibonacci na poesia

Então, para 1, 3, 3, 4, 5 unidades, o número de possibilidades é 1, 2, 3, 5, 8, que são os números da sequência de Fibonacci.

Além disso veja que, por exemplo, na coluna de 5 unidades, temos 3 possibilidades que terminam com letra L e 5 possibilidades que terminam com letra C, e 3 + 5 = 8.

Podemos concluir que, independente de quem a tenha descoberto, a sequência de Fibonacci é mesmo impressionante e suas aplicações estão além da matemática, na verdade, ela está presente em quase tudo o que existe!

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