Números complexos

O números complexos são formados por uma parte imaginária que surgiu da necessidade de calcular raízes de números negativos. Aprenda a forma conjugada desses números, como fazer operações entre eles e muito mais.

Por Elainy Marciano Publicado em 17/03/2020 - 16:26

Os números complexos são mais abrangentes que os números reais, eles são formados por uma parte real e uma parte imaginária.

A parte imaginária surgiu da necessidade de calcular raízes de números negativos.

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Por exemplo, como calcular $\dpi{120} \sqrt{-4}$ ?

$\dpi{120} \sqrt{-4}= \sqrt{ 4.(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2.\sqrt{-1}$

Mas quanto é $\dpi{120} \sqrt{-1}$ ? No conjunto dos números reais, não temos essa resposta, por isso foi criada a unidade imaginária.

Unidade imaginária

A unidade imaginária é representada pela letra $\dpi{120} i$ e tem valor igual a $\dpi{120} \sqrt{-1}$ , ou seja,

$\dpi{120} \bg_green \mathbf{i = \sqrt{-1}}$

Assim, no cálculo de $\dpi{120} \sqrt{-4}$ , temos que:

$\dpi{120} \sqrt{-4}=2\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i$

Então, dizemos que $\dpi{120} \sqrt{-4}$ é um número que pertence ao conjunto dos números complexos ( $\dpi{120} \mathbb{C}$ ), sendo $\dpi{120} 2i$ um número imaginário.

Podemos calcular o quadrado da unidade imaginária $\dpi{120} i$ ,veja:

$\dpi{120} i^2=\sqrt{-1}^2=-1$

$\dpi{120} \bg_green \mathbf{\Rightarrow i^2=-1}$

Forma algébrica de um número complexo

Qualquer número complexo $\dpi{120} z$ pode ser escrito na forma algébrica:

$\dpi{120} \boldsymbol{z=a +bi}$

Em que:

$\dpi{120} a \: \mathrm{e}\: b$ são números reais;
O número $\dpi{120} a$ é chamado de parte real e indicamos $\dpi{120} Re(z) =a$ ;
O número $\dpi{120} b$ é chamado de parte imaginária e indicamos $\dpi{120} Im(z) =b$ .

Exemplos:

$\dpi{120} \boldsymbol{z=2 +5i} \rightarrow Re(z)=2 \mathrm{\: \: e \: \:}Im(z) =5$

$\dpi{120} \boldsymbol{z=1 -2i} \rightarrow Re(z)=1 \mathrm{\: \: e \: \:}Im(z) =-2$

$\dpi{120} \boldsymbol{z=4i} \rightarrow Re(z)=0 \mathrm{\: \: e \: \:}Im(z) =4$

Quando a parte real é igual a zero, o número é chamado de número imaginário puro.

Conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo $\dpi{120} \boldsymbol{z=a +bi}$ é dado por:

$\dpi{120} \boldsymbol{\bar{z}=a -bi}$

Ou seja, para obter o conjugado de um número, basta trocar o sinal da parte imaginária.

Exemplos:

$\dpi{120} \mathrm{Se}\: \boldsymbol{z=2 +5i} \rightarrow \mathrm{Conjugado:} \: \boldsymbol{\bar{z}=2 -5i}$

$\dpi{120} \mathrm{Se}\: \boldsymbol{z=1 -2i} \rightarrow \mathrm{Conjugado:} \: \boldsymbol{\bar{z}=1 +2i}$

$\dpi{120} \mathrm{Se}\: \boldsymbol{z=4i} \rightarrow \mathrm{Conjugado:} \: \boldsymbol{\bar{z}=-4i}$

Igualdade entre números complexos

Dois números complexos são iguais quando possuem a mesma parte real e a mesma parte imaginária.

Então, considerando dois números complexos $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=a_1 +b_1i}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=a_2 +b_2i}$ , eles só serão iguais se $\dpi{120} \boldsymbol{a_1=a_2}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{b_1=b_2}$ .

Operações com números complexos

Podemos fazer operações com números complexos tanto de adição quanto de subtração, multiplicação e divisão, assim como fazemos entre outros tipos de números.

Adição de números complexos

Para fazer a adição entre números complexos, soma-se parte real com parte real, e parte imaginária com parte imaginária.

Exemplo: Se $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}$ , qual o valor de $\dpi{120} \boldsymbol{z_1+z_2}$ ?

Soma das partes reais: $\dpi{120} \boldsymbol{3\: {\color{Blue} \boldsymbol{+}}\: (-1) = 3 -1 = 2}$
Soma das partes imaginárias: $\dpi{120} \boldsymbol{2i\: {\color{Blue} \boldsymbol{+}}\: 5i = 7i}$

Então, $\dpi{120} \boldsymbol{z_1+z_2=2+7i}$ .

Também podemos expressar esse cálculo da seguinte forma:

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1+z_2}$

$\dpi{120} \boldsymbol{(3+2i)+(-1+5i)}$

$\dpi{120} \boldsymbol{3+2i-1+5i}$

$\dpi{120} \boldsymbol{2 +7i}$

Subtração de números complexos

Para fazer a subtração entre números complexos, subtrai-se parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária.

Exemplo: Se $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}$ , qual o valor de $\dpi{120} \boldsymbol{z_1-z_2}$ ?

Subtração das partes reais: $\dpi{120} \boldsymbol{3 \: {\color{Blue} \boldsymbol{-}} \: (-1) = 3 +1 = 4}$
Subtração das partes imaginárias: $\dpi{120} \boldsymbol{2i\: {\color{Blue} \boldsymbol{-}}\: 5i = -3i}$

Então, $\dpi{120} \boldsymbol{z_1-z_2=4-3i}$ .

Também podemos expressar esse cálculo da seguinte forma:

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1-z_2}$

$\dpi{120} \boldsymbol{(3+2i)-(-1+5i)}$

$\dpi{120} \boldsymbol{3 +2i+1-5i}$

$\dpi{120} \boldsymbol{4 -3 i}$

Multiplicação de números complexos

Para fazer a multiplicação entre números complexos, utiliza-se a propriedade distributiva: multiplica-se cada termo do primeiro fator por cada termo do outro fator.

Exemplo: Se $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}$ , qual o valor de $\dpi{120} \boldsymbol{z_1\cdot z_2}$ ?

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1\cdot z_2}$

$\dpi{120} \boldsymbol{-3+15i-2i+10i^2}$

$\dpi{120} \boldsymbol{-3+15i-2i+10\cdot (-1)}$ $\dpi{120} \boldsymbol{-3+15i-2i-10}$ $\dpi{120} \boldsymbol{-13+13i}$ Na quarta linha usamos o fato de que $\dpi{120} \mathbf{ i^2=-1}$ .