Probabilidade condicional

Probabilidade condicional, como o próprio nome sugere, é a probabilidade de ocorrer um evento sob a condição de que outro evento do mesmo espaço amostral já tenha ocorrido.

O que é probabilidade condicional?

Para compreender bem a probabilidade condicional é necessário compreender, antes, alguns conceitos importantes de probabilidade, como espaço amostral e eventos aleatórios.

O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, e esses resultados (ou subconjuntos deles) são chamados de eventos aleatórios.

Lembre-se, também, que a probabilidade de um evento A (qualquer) ocorrer é dada pela divisão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis.

O resultado deve ser sempre um número entre 0 e 1.

Dito isso, vamos ver um exemplo sobre probabilidade condicional.

Exemplo: A tabela a seguir apresenta a distribuição, dos 95 funcionários de uma empresa, por sexo e por grau de escolaridade.

Suponha que os nomes de todos os funcionários são anotados e colocados dentro de uma urna e, depois, um nome é selecionado aleatoriamente. Calcule:

a) a probabilidade de que o funcionário sorteado seja homem.

H = funcionário é homem.

b) a probabilidade de que o funcionário sorteado tenha o ensino superior.

ES = funcionário tem ensino superior.

c) a probabilidade de que o funcionário sorteado tenha o ensino superior e seja homem.

d) a probabilidade de que o funcionário sorteado tenha o ensino superior, dado que alguém espiou o nome sorteado e revelou que era um homem.

Representando essa probabilidade por , onde a barra (|) significa “dado” ou “condicionado”, temos que:

Observe que nessa probabilidade o número de casos possíveis não é mais o total de funcionários, mas sim o total de homens, pois estamos sob a condição de que o funcionário é homem (alguém já revelou isso).

Se já sabemos que o funcionário é homem, que não existe chance nenhuma de ser mulher, a coluna de mulheres na tabela não faz mais sentido no cálculo da probabilidade.

Então, é como se eliminássemos da tabela a coluna “mulheres”. Consequentemente, isso reduz o espaço amostral, antes havia 95 possibilidades e agora há 48 (só homens).

É disso que se trata a probabilidade condicional, e há uma fórmula específica para ela, que será útil em muitas situações.

Fórmula da probabilidade condicional

A fórmula da probabilidade condicional para calcular a chance de um evento A ocorrer, dado que um evento B do mesmo espaço amostral  já ocorreu, é dada por:

Em que P(B) deve ser um valor maior que zero e  é a probabilidade de que os dois eventos, A e B, ocorram.

Exemplo: vamos calcular a mesma probabilidade condicional do exemplo dos funcionários, só que agora, vamos usar a fórmula.

Probabilidade da interseção de eventos

A partir da fórmula da probabilidade condicional, podemos obter uma fórmula da probabilidade da interseção de eventos.

Eventos independentes

Se a probabilidade do evento A ocorrer não é alterada dado que B ocorreu, então, temos que:

Nesse caso, o evento A é independente do evento B.

Assim, a fórmula da probabilidade da interseção entre A e B é dada por:

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