Progressão aritmética

Progressão aritmética, ou simplesmente PA, é uma das sequências matemáticas mais comuns nas questões de vestibular e concurso. Conheça essa sequência!

Por Elainy Marciano Publicado em 29/09/2020 - 17:45

Progressão aritmética (PA) é qualquer sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante (o mesmo). Esse valor constante é chamado de razão da PA.

Uma PA pode ser finita ou infinita:

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(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → Exemplo de PA finita;

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …) → Exemplo de PA infinita, indicada com reticências (…).

Razão da PA

Os termos da PA são indicados conforme a posição que ocupam na sequência: $\dpi{120} \mathrm{a_1}$ é o primeiro termo, $\dpi{120} \mathrm{a_2}$ é o segundo termo, $\dpi{120} \mathrm{a_3}$ é o terceiro termo, e assim por diante.

A razão (r) da PA é calculada a partir de dois termos consecutivos, subtraindo o termo de menor posição do termo de maior posição.

Exemplo:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) → é uma PA de razão r = 2, pois observe que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre 2:

$\dpi{120} \mathrm{a_2 - a_1 = 4-2 = 2}$
$\dpi{120} \mathrm{a_3 - a_2 = 6-4 = 2}$
$\dpi{120} \mathrm{a_4 - a_3 = 8-6 = 2}$

E assim sucessivamente.

Classificação da PA

A PA é classificada de acordo com o valor de r.

PA constante

Uma PA é constante quando r = 0, e isso acontece quando os termos são todos iguais.

Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) ⇒ r = 2 – 2 = 0

PA crescente

Uma PA é crescente quando r > 0, e isso acontece quando os termos aumentam conforme a posição aumenta.

Exemplo: (10, 15, 20, 25, 30) ⇒ r = 15 – 10 = 5

PA decrescente

Uma PA é crescente quando r < 0, e isso acontece quando os termos diminuem conforme a posição aumenta.

Exemplo: (10, 5, 0, -5, -10, -15) ⇒ r = 5 – 10 = -5

Termo geral da PA

Chamando de $\dpi{120} \mathbf{a_n}$ um termo qualquer da PA, o seu valor pode ser encontrado a partir da seguinte fórmula:

$\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1+(n-1)\cdot r}$

Em que:

$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : é o primeiro termo da PA;
$\dpi{120} \mathbf{n}$ : posição do termo que queremos calcular;
$\dpi{120} \mathbf{r}$ : razão da PA.

Exemplo:

Qual o 18º termo da sequência (59, 57, 55, 53, 51, 49, 47, … )?

A sequência é uma PA com r = 57 – 59 = – 2. Sendo $\dpi{120} \mathrm{a_1 = 59}$ , vamos calcular o valor do termo $\dpi{120} \mathrm{a_{18}}$ :

$\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 59+(18-1)\cdot (-2)}$

$\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 59+(17)\cdot (-2)}$

$\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 59- 34}$

$\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 25}$

Soma dos termos de uma PA

Podemos calcular a soma dos termos de uma PA a partir da seguinte fórmula:

$\dpi{120} \mathbf{S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}$

Em que:

$\dpi{120} \mathbf{n}$ : número de termos que desejamos somar;
$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : é o primeiro termo da PA;
$\dpi{120} \mathbf{a_n}$ : é o último termo que queremos somar.

Exemplo:

Calcule a soma dos 18 primeiros termos da PA (59, 57, 55, 53, 51, 49, 47, … ).

No exemplo anterior, verificamos que $\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 25}$ . Então, vamos calcular $\dpi{120} \mathrm{S_{18}}$ utilizando a fórmula da soma dos termos da PA: