Regra de Cramer

A regra de Cramer permite resolver sistemas lineares através do calculo de determinantes. Veja o passo a passo para aplicar essa regra!

Por Elainy Marciano Publicado em 24/08/2020 - 22:50

A regra de Cramer é um teorema matemático que pode ser usado para determinar a solução de sistemas lineares cujo número de equações é igual ao número de incógnitas.

Com esse teorema, o sistema linear é resolvido a partir do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema, que deve ser diferente de zero.

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Regra de Cramer

Para aplicar a regra de Cramer, o sistema linear deve ter n equações e n incógnitas e o determinante da matriz de coeficientes deve ser diferente de zero, indicando que existe solução para o sistema e que ela é única.

Vamos considerar um sistema com n = 3 para entender como funciona esse teorema:

$\left\{\begin{matrix} \mathrm{a_1x+b_1y+c_1z = d_1}\\ \mathrm{a_2x+b_2y+c_2z = d_2}\\ \mathrm{a_3x+b_3y+c_3z = d_3 } \end{matrix}\right.$

Sendo $D= det\begin{bmatrix} \mathrm{a_1} & \mathrm{b_1} & \mathrm{c_1}\\ \mathrm{a_2} & \mathrm{b_2} & \mathrm{c_2}\\ \mathrm{a_3} & \mathrm{b_3} & \mathrm{c_3} \end{bmatrix}$ , o determinante da matriz de coeficientes associados ao sistema, se tivermos $D\neq 0$ , então, os valores de x, y e z que são solução do sistema são:

$\mathrm{x} = \frac{D_\mathrm{x}}{D}$ $\mathrm{y} = \frac{D_\mathrm{y}}{D}$ $\mathrm{z} = \frac{D_\mathrm{z}}{D}$

Em que $D_\mathrm{x}, D_\mathrm{y}$ e $D_\mathrm{z}$ são determinantes obtidos substituindo a respectiva coluna da incógnita pelos termos independentes das equações do sistema.

$D_\mathrm{x}= det\begin{bmatrix} \mathbf{d_1} & \mathrm{b_1} & \mathrm{c_1}\\ \mathbf{d_2} & \mathrm{b_2} & \mathrm{c_2}\\ \mathbf{d_3} & \mathrm{b_3} & \mathrm{c_3} \end{bmatrix}$ , $D_\mathrm{y}= det\begin{bmatrix} \mathrm{a_1} & \mathbf{d_1} & \mathrm{c_1}\\ \mathrm{a_2} & \mathbf{d_2} & \mathrm{c_2}\\ \mathrm{a_3} & \mathbf{d_3} & \mathrm{c_3} \end{bmatrix}$ , $D_\mathrm{z}= det\begin{bmatrix} \mathrm{a_1} & \mathrm{b_1} & \mathbf{d_1}\\ \mathrm{a_2} & \mathrm{b_2} & \mathbf{d_2}\\ \mathrm{a_3} & \mathrm{b_3} & \mathbf{d_3} \end{bmatrix}$

Regra de Cramer para sistema de 2 equações

Vamos resolver o seguinte sistema linear de duas equações usando a regra de Cramer:

$\left\{\begin{matrix} \mathrm{5x+3y=2}\\ \mathrm{4x - 2y = 6} \end{matrix}\right.$

1º passo) Calcular o determinante da matriz de coeficientes:

$D= det\begin{bmatrix}5 & 3 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ ⇒ $D = 5\cdot (-2) - 3 \cdot 4$ ⇒

2º passo) Calcular os determinantes $D_\mathrm{x}\, \mathrm{e}\, D_\mathrm{y}$ :

$D_\mathrm{x}= det\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$ ⇒ $D_\mathrm{x} = 2\cdot (-2) - 3 \cdot 6$ ⇒ $D_\mathrm{x} = -4 - 18 = -22$

$D_\mathrm{y}= det\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$ ⇒ $D_\mathrm{y} = 5\cdot 6 - 2 \cdot 4$ ⇒ $D_\mathrm{y} = 30 - 8 = 22$

3º passo) Calcular o valor das incógnitas:

$\mathrm{x} = \frac{D_\mathrm{x}}{D}$ ⇒ $\mathrm{x} = \frac{-22}{-22}$ ⇒ $\mathrm{x} =1$

$\mathrm{y} = \frac{D_\mathrm{y}}{D}$ ⇒ $\mathrm{y} = \frac{22}{-22}$ ⇒ $\mathrm{y} = -1$

Solução do sistema: (x, y) = (1, -1).

Regra de Cramer para sistema de 3 equações

Vamos resolver o seguinte sistema linear de três equações usando a regra de Cramer:

$\left\{\begin{matrix} \mathrm{2x+y-2z=10}\\ \mathrm{3x+2y+2z=1}\\ \mathrm{5x+4y+3z=4} \end{matrix}\right.$

1º passo) Calcular o determinante da matriz de coeficientes:

$D= det\begin{bmatrix}2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 2 \\5 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ ⇒

2º passo) Calcular os determinantes $D_\mathrm{x}, D_\mathrm{y}$ e $D_\mathrm{z}$ :

$D_\mathrm{x}= det\begin{bmatrix}10 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \\4 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ ⇒ $D_\mathrm{x} = 60 +8 - 8 + 16 - 80 - 3=-7$

$D_\mathrm{y}= det\begin{bmatrix}2 & 10 & -2 \\ 3 & 1 & 2 \\5 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ ⇒ $D_\mathrm{y} = 6 +100 - 24 + 10 - 16 -90 = -14$

$D_\mathrm{z}= det\begin{bmatrix}2 & 1 & 10 \\ 3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ ⇒ $D_\mathrm{z} = 16 + 5 + 120 - 100 - 8 - 12 = 21$

3º passo) Calcular o valor das incógnitas:

$\mathrm{x} = \frac{D_\mathrm{x}}{D}$ ⇒ $\mathrm{x} = \frac{-7}{-7}$ ⇒ $\mathrm{x} =1$

$\mathrm{y} = \frac{D_\mathrm{y}}{D}$ ⇒ $\mathrm{y} = \frac{-14}{-7}$ ⇒ $\mathrm{y} = 2$

$\mathrm{z} = \frac{D_\mathrm{z}}{D}$ ⇒ $\mathrm{z} = \frac{21}{-7}$ ⇒ $\mathrm{z} = -3$

Solução do sistema: (x, y, z) = (1, 2, -3).

Observação: para sistemas lineares com número de equações diferente do número de incógnitas, a solução pode ser determinada pelo método do escalonamento.

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