Matrizes

Saiba o que são matrizes, quais os diferentes tipos, como obter a transposta e como fazer operações de soma, subtração e multiplicação entre matrizes.

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O que é uma matriz? Uma matriz é, simplesmente, a representação de uma tabela de informações organizada em linhas e colunas. Normalmente, o número de linhas de uma matriz é indicado pela letra m, e o número de colunas, pela letra n.

Por que usar uma matriz? Organizar um conjunto de dados em uma matriz facilita na visualização e identificação de elementos, inclusão ou exclusão de valores, e realização de cálculos em uma mesma matriz ou entre diferentes matrizes.

Exemplo de matriz:

A tabela a seguir, apresenta as notas de alguns alunos em matemática. É uma tabela com 3 linhas e 2 colunas. Vamos representar essas informações em uma matriz.

tabela 3 por 2 - matrizesRepresentação na forma matricial:

\dpi{120} A = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 9 & 10 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}

Assim, \dpi{120} A é uma matriz com 3 linhas e 2 colunas.

E podemos escrever \dpi{120} A_{3\times 2} → Lê-se matriz A de ordem 3 por 2.

Elementos de uma matriz

Uma matriz qualquer, com m linhas e n colunas, pode ser escrita da seguinte forma:

Em que:

O primeiro número do subíndice de cada elemento representa a linha onde o elemento está, e o segundo número, representa a coluna. Veja que:

  • O elemento \dpi{120} a_{11} está na linha 1 e coluna 1;
  • O elemento \dpi{120} a_{12} está na linha 1 e coluna 2;
  • O elemento \dpi{120} a_{1n} está na linha 1 e coluna n;
  • O elemento \dpi{120} a_{21} está na linha 2 e coluna 1;
  • O elemento \dpi{120} a_{22} está na linha 2 e coluna 2;

E assim por diante.

De modo geral, os elementos de uma matriz são do tipo \dpi{120} a_{ij}, onde i é um número entre 1 e m e j é um número entre 1 e n.

Tipos de matrizes

Existem alguns tipos específicos de matriz, vamos ver os principais.

Matriz linha: matriz com uma linha apenas (1 x n).

\dpi{120} A =\begin{bmatrix} 4 & 2 & -1 \end{bmatrix}

Matriz coluna: matriz com uma coluna apenas (m x 1).

\dpi{120} B = \begin{bmatrix} 6\\ 0\\ 9 \end{bmatrix}

Matriz nula: todos os elementos são iguais a zero.

\dpi{120} C=\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Matriz quadrada: o número de linhas é igual ao número de colunas (n x n).

Matriz quadrada

Matriz diagonal: é uma matriz quadrada em que todos os elementos que não fazem parte da diagonal principal são iguais a zero.

Matriz diagonal

Matriz identidade: É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero. Em geral, esse tipo de matriz é representada pela letra I.

Matriz identidade

Leia mais: Tipos de matrizes

Matriz transposta

Considerando uma matriz A qualquer, a sua matriz transposta é uma outra matriz obtida quando escrevemos cada linha de A em forma de coluna.

Assim, a primeira linha corresponde à primeira coluna, a segunda linha linha corresponde à segunda coluna, e assim por diante.

Exemplo:

Matriz transposta

Operações com matrizes

  • Adição e subtração de matrizes

Só podemos somar ou subtrair duas matrizes A e B se elas forem da mesma ordem, ou seja, o número de linhas de A é igual ao número de linhas de B e o número de colunas de A é igual ao número de colunas de B.

A soma ou subtração de A e B é feita entre os elementos de mesma posição.

Exemplo:

a) Soma de matrizes: A(2 x 2) + B(2 x 2) = C(2 x 2)

soma de matrizes

b) Subtração de matrizes: A(3 x 2) – B(3 x 2) = C(3 x 2)

Subtração de matrizes

Leia mais: Adição e subtração de matrizes

  • Multiplicação de matrizes por um número real

Para fazer a multiplicação de uma matriz A por um número real, multiplicamos cada elemento da matriz A por esse número. O resultado é uma matriz de mesma ordem que a matriz A.

Exemplo: Multiplicar uma matriz A por 3.

multiplicação de matriz por número

  • Multiplicação de matrizes

Para fazer a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.

A (m x p) e B (p x n) → A tem p colunas e B tem p linhas → Podemos multiplicar

O resultado da multiplicação será uma matriz de ordem m x n.

Exemplo: A(2 x 3) . B (3 x 2) = C( 2 x 2)
Multiplicação de matrizes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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