Regra de Cramer

A regra de Cramer permite resolver sistemas lineares através do calculo de determinantes. Veja o passo a passo para aplicar essa regra!

A regra de Cramer é um teorema matemático que pode ser usado para determinar a solução de sistemas lineares cujo número de equações é igual ao número de incógnitas.

Com esse teorema, o sistema linear é resolvido a partir do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema, que deve ser diferente de zero.

Regra de Cramer

Para aplicar a regra de Cramer, o sistema linear deve ter n equações e n incógnitas e o determinante da matriz de coeficientes deve ser diferente de zero, indicando que existe solução para o sistema e que ela é única.

Vamos considerar um sistema com n = 3 para entender como funciona esse teorema:

\left\{\begin{matrix} \mathrm{a_1x+b_1y+c_1z = d_1}\\ \mathrm{a_2x+b_2y+c_2z = d_2}\\ \mathrm{a_3x+b_3y+c_3z = d_3 } \end{matrix}\right.

Sendo D= det\begin{bmatrix} \mathrm{a_1} & \mathrm{b_1} & \mathrm{c_1}\\ \mathrm{a_2} & \mathrm{b_2} & \mathrm{c_2}\\ \mathrm{a_3} & \mathrm{b_3} & \mathrm{c_3} \end{bmatrix}, o determinante da matriz de coeficientes associados ao sistema, se tivermos D\neq 0, então, os valores de x, y e z que são solução do sistema são:

\mathrm{x} = \frac{D_\mathrm{x}}{D}                                                         \mathrm{y} = \frac{D_\mathrm{y}}{D}                                                   \mathrm{z} = \frac{D_\mathrm{z}}{D}

Em que D_\mathrm{x}, D_\mathrm{y} e D_\mathrm{z} são determinantes obtidos substituindo a respectiva coluna da incógnita pelos termos independentes das equações do sistema.

D_\mathrm{x}= det\begin{bmatrix} \mathbf{d_1} & \mathrm{b_1} & \mathrm{c_1}\\ \mathbf{d_2} & \mathrm{b_2} & \mathrm{c_2}\\ \mathbf{d_3} & \mathrm{b_3} & \mathrm{c_3} \end{bmatrix},            D_\mathrm{y}= det\begin{bmatrix} \mathrm{a_1} & \mathbf{d_1} & \mathrm{c_1}\\ \mathrm{a_2} & \mathbf{d_2} & \mathrm{c_2}\\ \mathrm{a_3} & \mathbf{d_3} & \mathrm{c_3} \end{bmatrix},                        D_\mathrm{z}= det\begin{bmatrix} \mathrm{a_1} & \mathrm{b_1} & \mathbf{d_1}\\ \mathrm{a_2} & \mathrm{b_2} & \mathbf{d_2}\\ \mathrm{a_3} & \mathrm{b_3} & \mathbf{d_3} \end{bmatrix}

Regra de Cramer para sistema de 2 equações

Vamos resolver o seguinte sistema linear de duas equações usando a regra de Cramer:

\left\{\begin{matrix} \mathrm{5x+3y=2}\\ \mathrm{4x - 2y = 6} \end{matrix}\right.

1º passo) Calcular o determinante da matriz de coeficientes:

D= det\begin{bmatrix}5 & 3 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}   ⇒  D = 5\cdot (-2) - 3 \cdot 4  ⇒  D = -10 - 12 = -22

2º passo) Calcular os determinantes D_\mathrm{x}\, \mathrm{e}\, D_\mathrm{y}:

D_\mathrm{x}= det\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}   ⇒  D_\mathrm{x} = 2\cdot (-2) - 3 \cdot 6  ⇒ D_\mathrm{x} = -4 - 18 = -22

D_\mathrm{y}= det\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}      ⇒  D_\mathrm{y} = 5\cdot 6 - 2 \cdot 4       ⇒ D_\mathrm{y} = 30 - 8 = 22

3º passo) Calcular o valor das incógnitas:

\mathrm{x} = \frac{D_\mathrm{x}}{D}    ⇒  \mathrm{x} = \frac{-22}{-22}   ⇒  \mathrm{x} =1

\mathrm{y} = \frac{D_\mathrm{y}}{D}    ⇒  \mathrm{y} = \frac{22}{-22}   ⇒  \mathrm{y} = -1

Solução do sistema: (x, y) = (1, -1).

Regra de Cramer para sistema de 3 equações

Vamos resolver o seguinte sistema linear de três equações usando a regra de Cramer:

\left\{\begin{matrix} \mathrm{2x+y-2z=10}\\ \mathrm{3x+2y+2z=1}\\ \mathrm{5x+4y+3z=4} \end{matrix}\right.

1º passo) Calcular o determinante da matriz de coeficientes:

D= det\begin{bmatrix}2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 2 \\5 & 4 & 3 \end{bmatrix}  ⇒  D = 12 + 10 - 24 +20 - 16-9 = -7

2º passo) Calcular os determinantes D_\mathrm{x}, D_\mathrm{y} e D_\mathrm{z} :

D_\mathrm{x}= det\begin{bmatrix}10 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \\4 & 4 & 3 \end{bmatrix}     ⇒  D_\mathrm{x} = 60 +8 - 8 + 16 - 80 - 3=-7

D_\mathrm{y}= det\begin{bmatrix}2 & 10 & -2 \\ 3 & 1 & 2 \\5 & 4 & 3 \end{bmatrix}     ⇒  D_\mathrm{y} = 6 +100 - 24 + 10 - 16 -90 = -14

D_\mathrm{z}= det\begin{bmatrix}2 & 1 & 10 \\ 3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 4 \end{bmatrix}        ⇒  D_\mathrm{z} = 16 + 5 + 120 - 100 - 8 - 12 = 21

3º passo) Calcular o valor das incógnitas:

\mathrm{x} = \frac{D_\mathrm{x}}{D}    ⇒  \mathrm{x} = \frac{-7}{-7}   ⇒  \mathrm{x} =1

\mathrm{y} = \frac{D_\mathrm{y}}{D}    ⇒  \mathrm{y} = \frac{-14}{-7}  ⇒  \mathrm{y} = 2

\mathrm{z} = \frac{D_\mathrm{z}}{D}     ⇒  \mathrm{z} = \frac{21}{-7}    ⇒  \mathrm{z} = -3

Solução do sistema: (x, y, z) = (1, 2, -3).

Observação: para sistemas lineares com número de equações diferente do número de incógnitas, a solução pode ser determinada pelo método do escalonamento.

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