Resolução de sistemas lineares

Os sistemas lineares são sistemas formados por equações lineares que estão relacionadas entre si. Portanto, a solução desse tipo de sistema é um conjunto de valores das incógnitas que satisfazem todas as equações do sistema.

Contudo, nem todo sistema linear possui uma única solução, há sistemas com infinitas soluções e sistemas que não admitem nenhuma solução. Entenda melhor sobre resolução de sistemas lineares!

Resolução de sistemas lineares

Em um sistema com n incógnitas, , a solução, quando existe, é do tipo , que são valores numéricos que tornam verdadeiras todas as equações do sistema, sendo .

Em muitas situações, mais de um conjunto  é solução do sistema e, em outras, não há nenhum conjunto que seja solução. Nesse sentido, os sistemas lineares podem ser classificados em três tipos:

1. Sistema possível determinado (SPD): admite uma única solução;
2. Sistema possível indeterminado (SPI): admite infinitas soluções;
3. Sistema impossível (SI): não admite nenhuma solução.

Se o sistema de equações possuir o mesmo número de equações e incógnitas, podemos montar a matriz de coeficientes associada, que será uma matriz quadrada, e calcular o determinante dessa matriz.

Se o determinante for diferente de zero, então, o sistema será SPD, mas se o determinante for igual a zero, então, o sistema poderá ser SPI ou SI.

Exemplo 1: O sistema linear  admite uma única solução.

Usando algum método para resolver sistemas de duas equações, como método da adição ou substituição, podemos encontrar a solução .

Veja que esses valores satisfazem ambas as equações quando são substituídos nelas:

Podemos garantir que não há nenhum outro par ordenado  que faça isso além desse par encontrado, pois a solução é única.

Exemplo 2: O sistema linear  não admite uma única solução.

Se tentarmos utilizar qualquer um dos métodos para resolver sistemas de duas equações, não chegaremos a lugar nenhum, iremos obter termos opostos que serão cancelados, em relação às duas incógnitas. Logo, esse sistema é SPI ou SI.

Uma das formas de dizer se esse sistema é SPI ou SI é através da análise gráfica das retas referentes às equações do sistema. Se as duas retas forem coincidentes, então, é SPI. Mas se as retas forem paralelas, significa que não há nenhum ponto em comum entre elas, ou seja, o sistema é SI.

Nesse caso, pode ser verificado que as retas  e  são coincidentes e o sistema é, então, SPI, possui infinitas soluções.

Alguns dos pares ordenados que são solução são: (-5, 1) e (4, 2).

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