Resolução de sistemas lineares

Os sistemas lineares podem ter uma única solução, infinitas ou até nenhuma solução. Entenda mais sobre isso a partir de exemplos.

Os sistemas lineares são sistemas formados por equações lineares que estão relacionadas entre si. Portanto, a solução desse tipo de sistema é um conjunto de valores das incógnitas que satisfazem todas as equações do sistema.

Contudo, nem todo sistema linear possui uma única solução, há sistemas com infinitas soluções e sistemas que não admitem nenhuma solução. Entenda melhor sobre resolução de sistemas lineares!

Resolução de sistemas lineares

Em um sistema com n incógnitas, \dpi{120} (x_1, x_2, x_3, ..., x_n), a solução, quando existe, é do tipo \dpi{120} (a_1, a_2, a_3, ..., a_n), que são valores numéricos que tornam verdadeiras todas as equações do sistema, sendo \dpi{120} x_1 = a_1, x_2 = a_2,x_3 = a_3, ..., x_n = a_n.

Em muitas situações, mais de um conjunto \dpi{120} (a_1, a_2, a_3, ..., a_n) é solução do sistema e, em outras, não há nenhum conjunto que seja solução. Nesse sentido, os sistemas lineares podem ser classificados em três tipos:

  1. Sistema possível determinado (SPD): admite uma única solução;
  2. Sistema possível indeterminado (SPI): admite infinitas soluções;
  3. Sistema impossível (SI): não admite nenhuma solução.

Se o sistema de equações possuir o mesmo número de equações e incógnitas, podemos montar a matriz de coeficientes associada, que será uma matriz quadrada, e calcular o determinante dessa matriz.

Se o determinante for diferente de zero, então, o sistema será SPD, mas se o determinante for igual a zero, então, o sistema poderá ser SPI ou SI.

Exemplo 1: O sistema linear \dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2x + 3y = 7\\ 3x - y = 5 \end{matrix}\right. admite uma única solução.

\dpi{120} D = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 3& -1 \end{vmatrix} = -2 -9 = -11\neq 0

Usando algum método para resolver sistemas de duas equações, como método da adição ou substituição, podemos encontrar a solução \dpi{120} (x,y) = (2,1).

Veja que esses valores satisfazem ambas as equações quando são substituídos nelas:

\dpi{120} 2x + 3y = 2. 2 + 3.1 =4 + 3 = 7

\dpi{120} 3x - y = 3. 2 - 1 = 6 - 1 = 5

Podemos garantir que não há nenhum outro par ordenado \dpi{120} (x, y) que faça isso além desse par encontrado, pois a solução é única.

Exemplo 2: O sistema linear \dpi{120} \left\{\begin{matrix} x + 3y = -2\\ 2x + 6y = -4 \end{matrix}\right. não admite uma única solução.

\dpi{120} D = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2& 6 \end{vmatrix} = 6 -6 = 0

Se tentarmos utilizar qualquer um dos métodos para resolver sistemas de duas equações, não chegaremos a lugar nenhum, iremos obter termos opostos que serão cancelados, em relação às duas incógnitas. Logo, esse sistema é SPI ou SI.

Uma das formas de dizer se esse sistema é SPI ou SI é através da análise gráfica das retas referentes às equações do sistema. Se as duas retas forem coincidentes, então, é SPI. Mas se as retas forem paralelas, significa que não há nenhum ponto em comum entre elas, ou seja, o sistema é SI.

Nesse caso, pode ser verificado que as retas \dpi{120} x + 3y = -2 e \dpi{120} 2x + 6y = -4 são coincidentes e o sistema é, então, SPI, possui infinitas soluções.

Alguns dos pares ordenados que são solução são: (-5, 1) e (4, 2).

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