Simplificação de radicais

Aprenda a simplificar radicais para manipular e resolver expressões matemáticas com mais facilidade.

Por Elainy Marciano Publicado em 28/08/2020 - 22:07

A simplificação de radicais consiste no uso das propriedades da radiciação em situações onde aparecem radicais ( $\dpi{120} \sqrt[]{{\color{White} a}}$ ).

Em geral, a simplificação de radicais torna os cálculos matemáticos com radicais mais simples de serem resolvidos.

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Veja a, seguir, os casos de simplificação de radicias.

1º caso – Divisão do expoente e índice

O expoente e o índice podem ser simplificados dividindo ambos por um mesmo número.

$\dpi{150} \boldsymbol{\sqrt[n:p]{a^{m:p}} = \sqrt[n]{a^{m}}}$

Em geral, usa-se o máximo divisor comum, para que o expoente e o índice sejam os menores possíveis.

Exemplo: $\dpi{120} \sqrt[20]{x^{12}}= \sqrt[20:4]{x^{12:4}} = \sqrt[5]{x^{3}}$ .

2º caso – Expoente igual ao índice

Termos que estão elevados a um expoente igual ao índice, podem sair do radical.

$\dpi{150} \boldsymbol{\sqrt[n]{a^n} = a}$

Nesse tipo de simplificação, é comum fazermos a fatoração dos termos que estão no radical, para que o expoente seja igual ao índice.

Exemplos:

$\dpi{120} \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\dpi{120} \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = x^2$

3º caso – Inclusão de termos no radical

Termos que estão de fora do radical podem entrar elevados a um expoente igual ao índice.

$\dpi{150} \boldsymbol{b\sqrt[n]{a} =\sqrt[n]{ab^n}}$

Exemplo: $\dpi{120} x\sqrt[5]{x^2} = \sqrt[5]{x^5\cdot x^2} = \sqrt[5]{x^7}$ .

4º caso – Multiplicação de radicais com mesmo índice

Quando dois radicais possuem o mesmo índice e estão sendo multiplicados, a simplificação pode ser feita transformando em um único radical.

$\dpi{150} \boldsymbol{\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}}$

Exemplos:

$\dpi{120} \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{4}= \sqrt[3]{2.4} =\sqrt[3]{2.2^2} =\sqrt[3]{2^3} = 2$

$\dpi{120} \sqrt[3]{2^{15}\cdot x^{12}} = \sqrt[3]{2^{15}}\cdot \sqrt[3]{x^{12}} = \sqrt[3]{(2^{5})^3}\cdot \sqrt[3]{(x^{4})^3} = 2^5\cdot x^4 = 32x^4$ .

5º caso – Radical de uma fração

O radical de uma fração é igual a divisão entre dois radicais de mesmo índice.

$\dpi{150} \boldsymbol{\mathrm{\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}}$

Exemplo: $\dpi{120} \sqrt[]{\frac{25}{64}} = \frac{\sqrt[]{25}}{\sqrt[]{64}} = \frac{5}{8}$ .

6º caso – Frações com radical no denominador

Quando o denominador de uma fração apresenta um radical, podemos usar uma técnica chamada de racionalização:

$\dpi{150} \boldsymbol{\frac{a}{\sqrt[]{b}} = \frac{a}{\sqrt[]{b}} \cdot \frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{b}} = \frac{a\, \sqrt[]{b}}{(\sqrt[]{b})^2} = \frac{a\, \sqrt[]{b}}{b}}$