Soma e produto

A soma e produto é uma alternativa a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau. Aprenda a usar esse método que é bem prático!

Por Elainy Marciano Publicado em 17/03/2020 - 15:23

O método da soma e produto é uma forma alternativa e, na maioria das vezes, mais prática para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau:

$\dpi{120} \mathbf{a\mathbf{x}^2 +b\mathbf{x}+c=0}$

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É um método indicado quando as raízes são número inteiros. Caso contrário, deve-se utilizar a fórmula de Bhaskara.

Como encontrar as raízes pela soma e produto?

Considerando $\dpi{120} \mathbf{x_1}$ e $\dpi{120} \mathbf{x_2}$ as raízes de uma equação do 2º grau e representando a soma das raízes por S e o produto por P, temos que:

$\dpi{120} S=\frac{-b}{a}$

$\dpi{120} P=\frac{c}{a}$

Assim, para encontrar as raízes:

Calculamos os valores de S e P;
Procuramos números cujo produto seja igual ao valor P;
Verificamos se em algum desses casos encontrados a soma dos números é igual ao valor S.

Se existiram dois números onde o produto é igual a P e a soma é igual a S, então esses números são as raízes da equação.

Exemplos

Exemplo 1:

Encontrar as raízes da equação

$\dpi{120} \mathbf{x^2}+\mathbf{x}\, \mathbf{- \, 6=0}$

Temos $\dpi{120} a=1, b=1 \, \mathrm{e}\, c=-6$ .

Cálculo da soma e do produto:

$\dpi{120} S=\frac{-b}{a}=\frac{-1}{1}=-1$ $\dpi{120} P=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6$

Números cujo produto é igual a -6:

1 e -6 → pois 1 . (-6) = -6
6 e -1 → pois 6 . (-1) = -6
3 e -2 → pois 3 . (-2) = -6
2 e -3 → pois 2 . (-3) = -6

Em algum deles a soma é igual a -1?

1 e -6 → Não, pois 1 + (-6) = -5
6 e -1 → Não, pois 6 + (-1) = 5
3 e -2 → Não, pois 3 + (-2) = 1
2 e -3 → Sim, pois 2 + (-3) = -1

Então, as raízes da equação são 2 e -3, já que o produto entre esses números é -6 e a soma é -1.

Exemplo 2:

Encontrar as raízes da equação

$\dpi{120} \mathbf{x^2}-\mathbf{3x}\, -\mathbf{10 =0}$

Temos $\dpi{120} a=1, b=-3 \, \mathrm{e}\, c=-10$ .

Cálculo da soma e do produto:

$\dpi{120} S=\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{1}=3$ $\dpi{120} P=\frac{c}{a}=\frac{-10}{1}=-10$

Números cujo produto é igual a -10:

1 e -10 → pois 1 . (-10) = -10
10 e -1 → pois 10 . (-1) = -10
5 e -2 → pois 5 . (-2) = -10
2 e -5 → pois 2 . (-5) = -10

Em alguns deles a soma é igual a 3?

1 e -10 → Não, pois 1 + (-10) = -9
10 e -1 → Não, pois 10 + (-1) = 9
5 e -2 → Sim, pois 5 + (-2) = 3
2 e -5 → Não, pois 2 + (-5) = -3

Então, as raízes da equação são 5 e -2, já que o produto entre esses números é -10 e a soma é 3.

Veja também:

Encontrar raízes pela soma e produto Exemplos de como calcular a soma e produto Método da soma e produto Raízes de uma equação do 2º grau

Elainy Marciano

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