Teorema de Binet

O teorema de Binet é usado para calcular o determinante de um produto matricial de forma simples e mais rápida. Confira!

0

O teorema de Binet é um teorema que permite obter o determinante do produto entre duas matrizes, sem a necessidade de ter que efetuar a multiplicação entre as matrizes.

Por esse teorema, basta calcular o determinante de cada matriz e multiplicar os dois números obtidos. Contudo, o teorema não é aplicado para quaisquer tipos de matrizes, as matrizes precisam ser quadradas e de mesma ordem.

Teorema de Binet

Se a A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:

det (AB) = det (A) . det (B)

Lembre-se que matrizes quadradas são matrizes com mesmo número de linhas e colunas. Assim, para usar o teorema, as matrizes devem ser do tipo A(n x n) e B(n x n).

Exemplo 1

Calcule o determinante do produto das matrizes A e B, sendo:

\dpi{120} \mathrm{A = \begin{pmatrix} 1 & 5\\ 4 & 2 \end{pmatrix}} e \dpi{120} \mathrm{B = \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -2 & 2 \end{pmatrix}}

Como as matrizes são quadradas e as duas são de ordem 4, podemos utilizar o teorema de Binet.

1º) Calculamos os determinantes de cada matriz:

\dpi{120} \mathrm{det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 5\\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 1.2 - 4.5 = 2-20 = -18}

\dpi{120} \mathrm{det(B) = \begin{vmatrix} 3 & -1\\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 3.2 - (-1).(-2) = 6-2 = 4}

2º) Multiplicamos os determinantes:

det (A) . det (B) = -18 . 4 = -72

Portanto, det (AB) = -72.

Exemplo 2

Calcule o determinante de FG, sendo que F e G são duas matrizes tais que:

\dpi{120} \mathrm{F = \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 \\ 1& -1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}} e \dpi{120} \mathrm{G = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\ 0& 2& 0\\ 3& 2 & 1 \end{pmatrix}}

1º) Calculamos os determinantes de cada matriz:

\dpi{120} \mathrm{det(F) = \begin{vmatrix} 2 & 0 &1 \\ 1& -1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} 2 &0 \\ 1& -1\\ 0&2 \end{vmatrix} = -6 + 0 +2 - (0 + 8 + 0) = -12

\dpi{120} \mathrm{det(G) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ 0& 2& 0\\ 3& 2 & 1 \end{vmatrix}}\begin{vmatrix} -1 &1 \\ 0& 2\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -2 + 0 + 0 - (12+ 0 + 0) = -14

Os determinantes acima foram calculados pela Regra de Sarrus.

2º) Multiplicamos os determinantes:

det (F) . det (G) = -12 . – 14 = 168

Portanto, det (FG) = 168.

Você também pode se interessar:

PUBLICIDADE

você pode gostar também

Deixe uma resposta

Seu endereço de email não será publicado.