Matriz inversa

Saiba o que é matriz inversa, quando ela existe ou não e como calcular a partir de dois métodos diferentes: definição e matriz adjunta.

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A matriz inversa de uma matriz \dpi{120} A de ordem \dpi{120} n\times n é uma matriz, também de ordem \dpi{120} n \times n, que ao ser multiplicada pela matriz \dpi{120} A , tem como resultado uma matriz identidade de ordem \dpi{120} n \times n.

\dpi{120} A\cdot A^{-1} = I_n

Em que \dpi{120} A^{-1} é a matriz inversa de \dpi{120} A.

Contudo, nem toda matriz possui inversa. Apenas matrizes quadradas com determinante diferente de zero possuem inversa.

\dpi{120} det(A)\neq 0\Rightarrow \mathrm{ existe}\: A^{-1}

Quando uma matriz possui inversa, dizemos que ela é uma matriz inversível ou não singular.

Como calcular matriz inversa

Existem várias formas de calcular matriz inversa de matriz que é inversível. Uma delas, é pela própria definição. Vamos ver um exemplo considerando uma matriz 2 × 2.

\dpi{120} A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Passo 1) Calculamos o determinante para verificar se existe a matriz inversa:

\dpi{120} det(A) = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = 4 - 6 = -2

Como o determinante é diferente de zero, então, existe a matriz inversa de \dpi{120} A.

Passo 2) Aplicamos a definição, considerando incógnitas (a, b, c e d) para os valores desconhecidos dos termos da matriz inversa.

\dpi{120} A\cdot A^{-1} = I_n

\dpi{120} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3) Multiplicamos as matrizes.

\dpi{120} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

\dpi{120} \begin{pmatrix} 1\cdot a+2\cdot c &1\cdot b+2\cdot d \\ 3\cdot a+4\cdot c &3\cdot b+4\cdot d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Para saber mais, leia nosso texto: Multiplicação de matrizes.

Passo 4) Igualamos os elementos da matriz obtida aos elementos de mesma posição na matriz identidade, obtendo dois sistemas de equações:

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 1a + 2c = 1\\ 3a + 4c = 0 \end{matrix}\right.\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 1b + 2d = 0\\ 3b + 4d = 1 \end{matrix}\right.

Passo 5) Resolvemos cada um dos sistemas para encontrar os valores das incógnitas:

Sistema 1:

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 1a + 2c = 1 \, \mathbf{\mathbf{}(-2)}\\ 3a + 4c = 0 {\color{White} 1 11 }\end{matrix}\right.    \dpi{120} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2a -4c = -2 \\ 3a + 4c = 0 \end{matrix}\right.     \dpi{120} \Rightarrow a = -2 \, \mathrm{e }\, c = 3/2

Sistema 2:

\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 1b + 2d = 0 \, \mathbf{\mathbf{}(-2)}\\ 3b + 4d = 1 {\color{White} 1 11 }\end{matrix}\right.   \dpi{120} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2b -4d = 0 \\ 3b + 4d = 1 \end{matrix}\right.    \dpi{120} \Rightarrow b = 1 \, \mathrm{e }\, d = -1/2

Passo 6) Substituímos os valores encontrados na matriz inversa:

\dpi{120} A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2&-1/2 \end{pmatrix}

Se quiser tirar a prova real, basta multiplicar \dpi{120} A pela matriz \dpi{120} A^{-1} encontrada e o resultado deve ser a matriz identidade. Se não for, revise os cálculos feitos em cada passo.

Matriz inversa a partir da matriz adjunta

Para matrizes de ordem maior que 2, encontrar a matriz inversa pelo método visto anteriormente, pode não ser uma tarefa muito fácil.

Contudo, existe um método alternativo, por meio do qual se obtém a matriz inversa a partir da matriz adjunta.

Pelo método da matriz adjunta, a inversa de uma matriz quadrada, com determinante diferente de zero, é dada por:

\dpi{120} A ^{-1} = \frac{1}{det(A)}\cdot C^{T}

Em que \dpi{120} C é a matriz de cofatores de \dpi{120} A\dpi{120} C^{T} é a transposta dessa matriz.

Matriz de cofatores: é uma matriz com a mesma ordem da matriz \dpi{120} A. Cada elemento \dpi{120} C_{ij} da matriz de cofatores é calculado da seguinte forma:

\dpi{120} C_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot D_{ij}

Em que \dpi{120} D_{ij} é o determinante da matriz quando se elimina a linha \dpi{120} i e a coluna \dpi{120} j.

Inversa de matriz de ordem 2 a partir da adjunta

No caso de uma matriz de ordem 2, o cálculo da inversa pelo método da matriz adjunta pode ser resumido da seguinte forma:

\dpi{120} A^{-1} = \frac{1}{(a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21})}\cdot \begin{pmatrix} a_{22} &-a_{12} \\ -a_{21}& a_{11} \end{pmatrix}

Exemplo: Vamos calcular a inversa da matriz do exemplo anterior utilizando esse método:

\dpi{120} A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Então, a inversa é dada por:

\dpi{120} A^{-1} = \frac{1}{(1\cdot 4 - 2\cdot 3)}\cdot \begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3& 1 \end{pmatrix}

\dpi{120} \Rightarrow A^{-1} = -\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3& 1 \end{pmatrix}

\dpi{120} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 &1 \\ 3/2& -1/2 \end{pmatrix}

Inversa de matriz de ordem 3 a partir da adjunta

Vamos mostrar um exemplo de como calcular a matriz inversa de uma matriz de ordem 3 × 3, pelo método da adjunta.

\dpi{120} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 6 & 4 & 1\\ 5 & 7 &3 \end{pmatrix}

Passo 1) Calcular o determinante da matriz, podemos usar a Regra de Sarrus para isso.

\dpi{120} det(A) = 10

Passo 2) Calcular os elementos da matriz de cofatores:

\dpi{120} C_{11} = (-1)^{2}\cdot det\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 7 & 3 \end{pmatrix} = 5

\dpi{120} C_{12} = (-1)^{3}\cdot det\begin{pmatrix} 6 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix} = -13

\dpi{120} C_{13} = (-1)^{4}\cdot det\begin{pmatrix} 6 & 4\\ 5 & 7 \end{pmatrix} = 22

\dpi{120} C_{21} = (-1)^{3}\cdot det\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 7 & 3 \end{pmatrix} = 5

De modo semelhante, são calculados os valores de \dpi{120} C_{22}, C_{23},C_{31}, C_{32}, C_{33}.

A matriz de cofatores é:

\dpi{120} C=\begin{pmatrix} 5& -13 & 22\\ 5& -7 & 8\\ -5& 11 &-14 \end{pmatrix}

Passo 3) Calcular a transposta da matriz de cofator:

\dpi{120} C= \begin{pmatrix} 5 & 5 &-5 \\ -13& -7 &11 \\ 22& 8 &-14 \end{pmatrix}

Passo 4) Encontrar a inversa, dividindo cada elemento pelo determinante:

\dpi{120} A^{-1}=\frac{1}{10}\cdot \begin{pmatrix} 5 & 5 &-5 \\ -13& -7 &11 \\ 22& 8 &-14 \end{pmatrix}

\dpi{120} A^{-1}=\cdot \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 &-1/2 \\ -13/10& -7/10 &11/10 \\ 11/5& 4/5 &-7/5 \end{pmatrix}

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