Teorema de Binet

O teorema de Binet é um teorema que permite obter o determinante do produto entre duas matrizes, sem a necessidade de ter que efetuar a multiplicação entre as matrizes.

Por esse teorema, basta calcular o determinante de cada matriz e multiplicar os dois números obtidos. Contudo, o teorema não é aplicado para quaisquer tipos de matrizes, as matrizes precisam ser quadradas e de mesma ordem.

Teorema de Binet

Se a A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:

Lembre-se que matrizes quadradas são matrizes com mesmo número de linhas e colunas. Assim, para usar o teorema, as matrizes devem ser do tipo A(n x n) e B(n x n).

Exemplo 1

Calcule o determinante do produto das matrizes A e B, sendo:

e

Como as matrizes são quadradas e as duas são de ordem 4, podemos utilizar o teorema de Binet.

1º) Calculamos os determinantes de cada matriz:

2º) Multiplicamos os determinantes:

det (A) . det (B) = -18 . 4 = -72

Portanto, det (AB) = -72.

Exemplo 2

Calcule o determinante de FG, sendo que F e G são duas matrizes tais que:

e

1º) Calculamos os determinantes de cada matriz:

Os determinantes acima foram calculados pela Regra de Sarrus.

2º) Multiplicamos os determinantes:

det (F) . det (G) = -12 . – 14 = 168

Portanto, det (FG) = 168.

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