Teorema de D’Alembert

Conheça o teorema que permite dizer a respeito da divisibilidade entre polinômios antes mesmo de calcular a divisão entre eles.

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O teorema de D’Alembert é permite saber se um polinômio P(x) é divisível por um binômio do tipo ax + b, antes mesmo de efetuar a divisão entre eles.

Em outras palavras, o teorema permite saber se o resto R da divisão é igual a zero ou não. Esse teorema é uma consequência imediata do teorema do resto para divisão de polinômios. Entenda o porquê logo abaixo.

Teorema do resto

Na divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo ax + b, o resto R é igual ao valor de P(x) quando x é a raiz do binômio ax + b.

Raiz do binômio: ax + b = 0 ⇒ x = -b/a. Logo, pelo teorema do resto, temos que:

R = P(-b/a)

Agora, veja que se P(-b/a) = 0, então, R = 0 e se R = 0, temos a divisibilidade entre os polinômios. E é exatamente isso que nos diz o teorema de D’Alembert.

Teorema de D’Alembert: se P(-b/a) = 0, então, o polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax + b.

Exemplo 1

Verifique se o polinômio P(x) = 6x² + 2x é divisível por 3x + 1.

1º) Determinamos a raiz de 3x + 1:

-b/a = -1/3

2º) Substituímos x por -1/3 no polinômio P(x) = 6x² + 2x:

P(-1/3) = 6.(-1/3)² + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6.(1/9) + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6/9 – 2/3
P(-1/3) = 2/3 – 2/3
P(-1/3) = 0

Como P(-1/3) = 0, o polinômio P(x) = 6x² + 2x é divisível por 3x + 1.

Exemplo 2

Verifique se o polinômio P(x) = 12x³ + 4x² – 8x é divisível por 4x.

1º) Determinamos a raiz de 4x:

-b/a = -0/4 = 0

2º) Substituímos x por 0 no polinômio P(x) = 12x³ + 4x² – 8x:

P(0) = 12.0³ + 4.0² – 8.0
P(0) = 0 + 0 – 0
P(0) = 0

Como P(0) = 0, o polinômio P(x) = 12x³ + 4x² – 8x é divisível por 4x.

Exemplo 3

Verifique se o polinômio P(x) = x² – 2x + 1 é divisível por x – 2.

1º) Determinamos a raiz de x – 2:

-b/a = -(-2)/1 = 2

2º) Substituímos x por 2 no polinômio P(x) = x² – 2x + 1:

P(2) = 2² – 2.2 + 1
P(2) = 4 – 4 +1
P(2) = 1

Como P(2) ≠ 0, o polinômio P(x) = x² – 2x + 1 não é divisível por x – 2.

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