Função polinomial

Saiba tudo o que você precisa sobre a função polinomial. Aprenda a construir o gráfico, realizar operações e muito mais!

Uma função polinomial é qualquer função definida por um polinômio. A forma geral de uma função polinomial é:

\mathrm{f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} +...+ a_2x^2+a_1x + a_0}

Em que \mathrm{a_0, a_1, a_2,..., a_{n-2}, a_{n_1}, a_{n}} são coeficientes e \mathrm{x, x^2, ..., x^{n-2}, x^{n-1}, x^n} são as variáveis da função polinomial.

Grau dos polinômios

O grau de uma função polinomial corresponde ao grau do polinômio. Assim, se uma função é representada por um polinômio de grau n, a função polinomial também será de grau n.

Para determinar o grau dos polinômios, basta observar os expoentes das variáveis. O grau do polinômio é o valor do maior expoente.

Exemplos:

f(x) = x + 1 → polinômio de grau 1 → função polinomial de grau 1

f(x) = x² + 2x – 3 → polinômio de grau 2 → função polinomial de grau 2

f(x) = -x³ + 4x² – x + 2 → polinômio de grau 3 → função polinomial de grau 3

Valor numérico de um polinômio

O valor numérico de um polinômio é obtido quando substituímos as variáveis por um número.

Exemplo:

Para transportar uma carga, um caminhoneiro cobra o preço fixo de R$ 50,00 mais R$ 3,00 a cada quilômetro rodado.

Assim, se x é o número de quilômetros rodados, o preço do frete (P) pode ser representado por um polinômio: P = 3x + 50.

Supondo que foram rodados 100 km, ou seja, x = 100, o preço é dado por:

P = 3. 100 + 50 = 350

Portanto, quando x = 100, o valor numérico do polinômio é 350.

Gráficos da função polinomial

O gráfico da função polinomial dependerá do grau do polinômio. Em qualquer caso, o gráfico pode ser obtido da seguinte forma:

  • Atribuímos valores para x e determinamos vários pares ordenados (x,y) que pertencem à função;
  • Marcamos esses pares ordenados no plano cartesiano;
  • Ligamos os pontos marcados para obter o esboço do gráfico.

A seguir, vamos ver os gráficos mais comuns, que são os gráficos das funções de grau 1, 2 e 3.

Função polinomial de grau 1

Uma função polinomial de grau 1 também é conhecida como função afim e o seu gráfico é sempre uma reta.

Exemplo: f(x) = x

Gráfico de uma função do 1° grau

Função polinomial de grau 2

A função polinomial de grau 2 também é chamada de função quadrática e o seu gráfico é sempre uma parábola.

Exemplo: f(x) = x²

Gráfico de uma função do 2° grau

Função polinomial de grau 3

Veja o exemplo do gráfico de uma função polinomial de grau 3.

Exemplo: f(x) = x³

Gráfico de uma função do 3° grau

Igualdade de polinômios

A igualdade de dois polinômios ocorre quando os coeficientes correspondentes aos termos de mesmo grau são iguais.

Exemplo: considere f(x) = 2x³ – x + 4 e g(x) = ax³ + bx + c.

Esses dois polinômios serão iguais quando a = 2, b= -1 e c = 4.

Operações com polinômios

Adição de polinômios

A adição de polinômios é obtida quando somamos os coeficientes dos termos semelhantes.

Exemplo: (2x² – 3x – 5) + (x² + x – 2)

(2x² – 3x – 5) + (x² + x – 2) = 2x² – 3x – 5 + x² + x – 2 = 3x² – 2x – 7

Subtração de polinômios

A subtração de polinômios é obtida quando subtraímos os coeficientes dos termos semelhantes.

Exemplo: (2x² – 3x – 5) – (x² + x – 2)

(2x² – 3x – 5) – (x² + x – 2) = 2x² – 3x – 5 – x² – x + 2 = x² – 4x – 3

Multiplicação de polinômios

Na multiplicação de polinômios, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo polinômio.

Exemplo: (x² – x + 2) . (x + 1)

(x² – x + 2) . (x + 1) = x³ + x² – x² – x + 2x + 2 = x³ + x + 2

Divisão de polinômios

Na divisão de polinômios, utilizamos o método da chave. Para compreender, veja um exemplo:

Exemplo: (x³ – 3x² – x + 6) : (x-2)Divisão de polinômios

Teorema do resto

O teorema do resto diz que a divisão de um polinômio f(x) por x – a é igual ao valor da função f no ponto a, isto é, o resto R é dado por:

R = f(a)

Exemplo: o resto da divisão de f(x) = x³ – 2x + 7 por x – 1 é igual a 6, pois f(1) = 1³ – 2.1 + 7 = 6.

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