Teorema fundamental da semelhança
Entenda o que é o teorema fundamental da semelhança e como ele pode ser aplicado no estudo dos triângulos.
O teorema fundamental da semelhança diz respeito à semelhança de triângulos. Por isso, antes de falar sobre o teorema vamos entender o que são triângulos semelhantes.
Em triângulos, a semelhança ocorre quando os ângulos internos correspondentes têm a mesma medida e os lados correspondentes têm medidas proporcionais.
Lembre-se que semelhança é diferente de congruência, as figuras não precisam ser exatamente iguais para serem semelhantes, elas precisam ser proporcionais.
Considere os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:
Para que esses dois triângulos sejam semelhantes, é necessário que:
, , e
No entanto, há algumas condições que, se satisfeitas, já são suficientes para dizermos que os triângulos são semelhantes. Essas condições são conhecidas como casos de semelhança:
- Caso AA – Dois ângulos correspondentes têm a mesma medida;
- Caso LLL – Três lados correspondentes têm medidas proporcionais;
- Caso LAL – Dois lados correspondentes têm medidas proporcionais e o ângulo entre eles de mesma medida.
Teorema fundamental da semelhança
Exemplo:
Pelo teorema fundamental da semelhança, podemos dizer que os triângulos ABC e ADE são triângulos semelhantes, já que o segmento DE é paralelo ao lado BC e intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente.
Agora, vamos entender por que isso acontece, acompanhe uma demonstração desse teorema.
Demonstração:
Em um triângulo qualquer ABC, traçamos uma reta r, paralela ao lado AC e que passa pelo lado AB no ponto D e pelo lado BC no ponto E.
Os ângulos e são ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma reta transversal e, portanto, são congruentes, ou seja, eles têm a mesma medida.
De modo análogo, os ângulos e também são correspondentes congruentes, eles têm a mesma medida.
Dessa forma, os triângulos ABC e o BDE possuem dois ângulos correspondentes de mesma medida e podemos concluir, pelo caso de semelhança AA, que eles são triângulos semelhantes.
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