Expressões algébricas

Uma expressão algébrica é uma expressão matemática que contém números e letras, chamadas de incógnitas.

Exemplos de expressões algébricas:

• 2x + 2y
• ab + c²
• 4n – 3
• 30 + 0,5 x

Exemplo de uso de uma expressão algébrica:

Em uma empresa trabalham 250 funcionários, mas não sabemos quantos são homens e quantos são mulheres. Representando o número de mulheres pela letra m e o número de homens pela letra h, podemos escrever uma expressão algébrica:

m + h = 250

Valor de uma expressão algébrica

Para calcular o valor de uma expressão algébrica, temos que substituir as letras por números e depois fazer as operações existentes.

Exemplos:

a) Qual o valor numérico da expressão x – y quando x = 5 e y = 4?

x – y = 5 – 4 = 1

→ Valor numérico: 1

b) Três amigas vão ao cinema e o valor do ingresso é x. Então a expressão numérica que representa o preço total que vão pagar é 3x. Encontre o valor numérico dessa expressão quando o ingresso custa R$18,00.

3x = 3 . 18 = 54

→ Valor numérico: 54

Elementos de uma expressão algébrica

Nas expressões algébricas, os números são chamados de coeficientes e uma letra ou a multiplicação de várias letras é chamada de parte literal.

Exemplos:

•  4x → Coeficiente: 4 e Parte literal: x
• -10ab → Coeficiente: -10 e Parte literal: ab
• 2x – 3y → Coeficientes: 2 e -3 e Partes literais: x e y
• -x² + 3xy + 0,8y³ → Coeficientes: -1, 3 e 0,8 e Partes literais: x², xy e y³

Simplificação de expressões algébricas

Na simplificação de expressões algébricas, temos que somar ou subtrair os coeficientes dos termos que tiverem a mesma parte literal.

Exemplos:

a) 2x + 5x – y = 7x – y

b) x² – 2x + x – 3x² +x³ = 4x² – x + x³

c) ab – 3ab² + 5ab – ab² +a²b – a²b = 6ab – 4ab²

Fatoração de expressões algébricas

Fazer a fatoração de uma expressão algébrica é escrever a expressão como uma multiplicação. Quando fatoramos, também buscamos simplificar a expressão, pois isso facilita em muitos cálculos que envolvem expressões algébricas.

Vamos ver algumas formas de fatoração:

Colocar em evidência: ax + ay = a . (x + y)

Exemplo: 2x + 2y = 2 . (x + y)

Fazer agrupamento: ax + bx + ay + by = a . (x + y) + b . (x + y) = (a + b) . (x + y)

Exemplo: 2x + 3x + 2y + 3y = 2 . (x + y) + 3 . (x + y) = (2 + 3) . (x + y) = 5 (x + y)

Além disso, também podemos utilizar os produtos notáveis:

• Diferença entre dois quadrados: (x + y) . (x – y) = x² – y²
• Quadrado da soma de dois termos: x² + 2xy + y² = (x + y)²
• Quadrado da diferença de dois termos: x² – 2xy + y² = (x – y)²
• Cubo da soma de dois termos: x³ + 3x²y +3xy² + y³ = (x + y)³
• Cubo da diferença de dois termos: x³ – 3x²y +3xy² – y³ = (x – y)³

Monômios

Um monômio ou termo algébrico é uma expressão formada por apenas um único termo.

Exemplos:

• 3x
• 7y
• yx²
• -ab³

Polinômios

Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma e subtração de monômios.

Exemplos:

• ab + x²
• 100x + 10y + 2
• 3x + 2y
• y – 2x

A seguir, vamos ver alguns exemplos de operações algébricas: soma, subtração, multiplicação e divisão.

Soma e subtração entre expressões algébricas

Para somar ou subtrair expressões algébricas, basta somar os coeficientes dos termos que possuem a mesma parte literal.

Exemplos:

a) Soma entre (5a + 7ab – 4b) e (- 2a + 3ab + 3b)

(5a + 7ab – 4b) + (- 2a + 3ab + 3b)=

5a + 7ab – 4b – 2a + 3ab +3b =

5a – 2a + 7ab + 3ab – 4b + 3b =

3a + 10ab – b

b) Subtração entre (2x + 5y – 6xy) e (- x + 2xy + 7y)

(2x + 5y – 6xy) – (- x + 2xy + 7y) =

2x + 5y – 6xy + x – 2xy – 7y =

2x + x + 5y – 7y -6xy – 2xy =

3x – 2y – 8xy

Multiplicação entre expressões algébricas

Para multiplicar expressões algébricas, temos que multiplicar cada termo de uma expressão por cada termo da outra expressão.

Exemplo: Multiplicar (3a + 2b) por (2a – 5b)

(3a + 2b) . (2a – 5b) =

3a . 2a – 3a . 5b + 2b . 2a – 2b . 5b =

6a² – 15ab + 4ab – 10b² =

6a² – 11ab – 10b²

Divisão entre expressões algébricas

Para fazer a divisão de um polinômio por um monômio, basta fazer a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplo: Dividir (6x³y² – 8x²y²) por (- 2x²y)

(6x³y² – 8x²y²) : (- 2x²y) =

(6x³y²) : (- 2x²y) + (- 8x²y²) : (- 2x²y) =

– 3xy + 4y

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