Fatoração

A fatoração está relacionada a escrever um número ou uma expressão algébrica em forma de multiplicações.

Exemplo: Fatorar o número 20.

O número 20 pode ser escrito como 2 . 10 ou 4 . 5, ou seja, como o produto de dois outros números.

Existe, ainda, a fatoração em números primos. Nesse caso, os números da multiplicação devem ser números primos. Para o número 20, consiste em escrever 20 = 2 . 10, pois 2 e 10 são números primos.

Na fatoração de polinômios, existem algumas técnicas. Vamos ver algumas delas.

Fator comum em evidência

A fatoração pelo fator comum em evidência consiste em colocar em evidência um fator que aparece em todos os termos do polinômio.

Exemplos:

a) 2x + 2y

2x + 2y =  2.(x + y)

b) x² + xy

x² + xy = x . x + x . y = x.(x + y)

c) 6ax + 8ay

6ax + 8ay = 2.3.a.x + 2.4.a.y = 2a.(3a + 4y)

Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, agrupamos os termos que possuem um fator em comum. Depois, colocamos o fator comum em evidência.

Exemplos:

a) 3x + 5x + 3y + 5y

3x + 5x + 3y + 5y = 3x + 3y + 5x + 5y = 3.(x + y) + 5.(x + y)

Observe que (x + y) aparece nos dois termos, então podemos colocá-lo em evidência também:

3.(x + y) + 5.(x + y) = (3 + 5) . (x + y) = 8.(x + y).

b) a² + ab + ax + bx

a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x.(a + b) = (a + x) . (a + b)

c) 3ax + 2b² + b²x + 6a

3ax + 2b² + b²x + 6a = 3a.(x + 2) + b².(2 + x) = (3a + b²) . (x + 2)

Diferença de dois quadrados

Na fatoração da diferença de dois quadrados, vamos utilizar um dos produtos notáveis:

x² – y² = (x + y).(x – y)

Exemplos:

a) x² – 36

x² – 36 = (x + 6).(x – 6)

Pois 36 = 6².

b) 81 – a²

81 – a² = (9 + a).(9 – a)

Pois 81 = 9².

c) n² -1

n² – 1 = n² – 1² = (n + 1).(n – 1)

Aqui, usamos o fato de que 1 = 1².

Trinômio do quadrado perfeito

Na fatoração do trinômio do quadrado perfeito, utilizamos os produtos notáveis do quadrado da soma ou da diferença entre dois termos:

x² + 2xy + y² = (x + y)²  e  x² – 2xy + y² = (x – y)²

Exemplos:

a) x² + 8xy + 16y²

x² + 8xy + 16y²

• √x² = x
• √16y² = 4y

Multiplicando esses dois resultados por 2, obtemos o segundo termo: 2 . x . 4y = 8xy.

Então, x² + 8xy + 16y² = (x + 4y)².

b) a² – 10ab + 25b²

a² – 10ab + 25b²

• √a² = a
• √25b² = 5b

Multiplicando esses dois resultados por 2, obtemos o segundo termo: 2 . a . 5b = 10ab.

Então, a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)².

Cubo perfeito

Na fatoração do cubo perfeito, também utilizamos produtos notáveis:

x³ + 3x²y + 3y²x + y³ = (x + y)³   e   x³ – 3x²y + 3y²x + y³ = (x – y)³

Exemplo: x³ + 6x² + 12x + 8

x³ + 6x² + 12x + 8

• ³√x³ = x
• ³√8 = 2

A partir desses resultados, podemos obter o segundo termo: 3. x² . 2 = 6x² e o terceiro termo: 3. x. 2² = 12x.

Então, x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³.

Você também pode se interessar:

• Equação do primeiro grau
• Sistemas de equações
• Mínimo Múltiplo Comum