Área do triângulo usando os ângulos

A partir de razões trigonométricas são obtidas fórmulas para calcular a área do triângulo usando ângulos. Veja quais são!

A área do triângulo pode ser calculada a partir da multiplicação da medida da base pela altura e dividindo esse resultado por dois.

\dpi{120} \mathrm{A = \frac{base\, \cdot \, altura}{2}}

Essa é uma fórmula geral da área do triângulo. No entanto, em muitas situações, a altura do triângulo é desconhecida e deve ser obtida à parte.

Uma das formas de encontrar a altura de um triângulo é a partir das razões trigonométricas.

Considere um triângulo ABC qualquer, como o da figura abaixo:

Triângulo

Traçando a altura (h) com relação ao lado AC, podemos observar que o triângulo ABH que se formou é um triângulo retângulo.

Triângulo

Portanto, pelas razões trigonométricas, temos que:

\dpi{120} \mathrm{sen(\hat{A}) = \frac{cateto \, oposto}{hipotenusa} = \frac{h}{c}}

De onde obtemos que a altura h pode ser expressa como:

\dpi{120} \mathrm{h = sen(\hat{A})\cdot c}

Substituindo essa expressão encontrada na fórmula da área do triângulo, temos que:

\dpi{120} \mathrm{A = \frac{base\, \cdot \, altura}{2} = \frac{b \cdot sen(\hat{A}) \cdot c}2{}}

Assim, encontramos uma primeira fórmula para calcular a área do triângulo usando ângulos.

1ª Fórmula

\dpi{120} \mathbf{A = \frac{b\cdot c\cdot sen(\hat{A})}{2}}

De modo equivalente, podemos ver o triângulo BCH também é triângulo retângulo. Então:

\dpi{120} \mathrm{sen(\hat{C}) = \frac{cateto \, oposto}{hipotenusa} = \frac{h}{a}}

Assim, outra forma de obter a altura h é:

\dpi{120} \mathrm{h = sen(\hat{C})\cdot a}

Nesse caso, temos uma segunda fórmula que também pode ser usada para calcular a área do triângulo.

2ª fórmula

\dpi{120} \mathbf{A = \frac{a\cdot b\cdot sen(\hat{C})}{2}}

Perceba que em cada uma dessas fórmulas utiliza-se o seno do ângulo e a medida dos dois lados adjacentes a ele.

Então, além dessas duas primeiras fórmulas, pode ser demonstrada uma terceira fórmula para calcular a área do triângulo usando ângulos.

3ª fórmula

\dpi{120} \mathbf{A = \frac{a\cdot c\cdot sen(\hat{B})}{2}}

Para um mesmo triângulo, a área pode ser calculada por qualquer uma dessas três fórmulas, o resultado será o mesmo.

Cabe, então, verificar quais são as medidas de lados e ângulos disponíveis no triângulo e identificar a melhor fórmula a ser utilizada.

Você também pode se interessar:

você pode gostar também

Os comentários estão fechados, mas trackbacks E pingbacks estão abertos.

This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Accept Read More