Cálculo de raízes

Saiba o que é a raiz de um número e veja estratégias para calcular raízes quadradas, cúbicas, quartas, ou qualquer outra que você precise.

O cálculo de raízes é um procedimento básico da matemática, pois significa fazer o caminho inverso de uma potenciação, isto é, de uma multiplicação de fatores iguais.

Quando elevamos o número 4 ao quadrado, o resultado obtido é 16.

\dpi{120} 4^2 = 4 \times 4 = 16

O caminho inverso dessa operação é procurar um número que, ao ser elevado ao quadrado, o resultado seja 16. Já sabemos que esse número é o 4. Assim, dizemos que a raiz quadrada de 16 é 4 e representamos essa operação da seguinte forma:

\dpi{120} \sqrt{16} = 4

Agora, observe que se elevarmos o número 4 ao cubo, o resultado é 64.

\dpi{120} 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64

Nesse caso, o caminho inverso não é mais uma raiz quadrada, mas sim uma raiz cúbica. Dizemos que a raiz cúbica de 64 é 4 e representamos do seguinte modo:

\dpi{120} \sqrt[3]{64} = 4

De modo similar, podemos calcular raízes quartas, quintas, sextas e assim por diante. A operação que realizamos ao calcular raízes é chamada de radiciação.

Elementos de uma radiciação

Na radiciação, o símbolo \dpi{120} \bg_white \sqrt{{\color{White} a}} é chamado de radical, o número que vai dentro do radical é o radicando, o número que está acima é o índice e o resultado é chamado de raiz.

Para saber qual o tipo de raiz, basta olharmos para o índice. Quando o índice for 2 ou não aparecer trata-se de uma raiz quadrada, quando o índice for 3, de uma raiz cúbica, quando o índice for 4, de uma raiz quarta, e assim sucessivamente.

Exemplo: \dpi{120} \bg_white \sqrt[4]{625} = 5

  • Radicando: 625
  • Índice: 4
  • Raiz: 5

Como calcular raízes

Vamos ver, por meio de exemplos, algumas estratégias que podem ser utilizadas no cálculo de raízes.

Exemplos: Calcule as seguintes raízes:

a) \dpi{120} \bg_white \sqrt[]{144}

Devemos pensar em um número que elevado ao quadrado o resultado seja 121. Sabendo que 10² = 10 x 10 = 100, então, esse número deve ser maior que 10.

Vamos testar os próximos números:

11² = 11 x 11 = 121

12² = 12 x 12 = 144

Então, o número que procuramos é o 12. Portanto:

\dpi{120} \bg_white \sqrt[]{144} = 12

b) \dpi{120} \bg_white \sqrt[3]{125}

Devemos pensar em um número que elevado ao cubo o resultado seja 125. Já vimos que 4³ = 4 x 4 x 4 = 64. Assim, esse número deve ser maior que 4.

Vamos testar o próximo número:

5³ = 5 x 5 x 5 = 125

Veja que o número que procuramos é o 5. Assim:

\dpi{120} \bg_white \sqrt[3]{125} = 5

c) \dpi{120} \bg_white \sqrt{1296}

Para números menores no radicando, o método de tentativas que usamos nos itens (a) e (b) funciona bem. Mas veja que aqui temos um número grande e podemos demorar muito fazendo tentativas.

Um outra forma de encontrar raízes, é fatorando o radicando. Fazendo a decomposição do número 1296 em fatores primos, obtemos o seguinte:

1296 = 2.2.2.2.2.3.3.3.3

Uma das propriedades da radiciação é que \dpi{120} \bg_white \sqrt[n]{a^n} = a, ou seja, se tivermos um número elevado ao mesmo índice, teremos como resultado o próprio radicando.

Desse modo, como estamos querendo resolver uma raiz quadrada (índice 2) é conveniente escrevermos:

1296 = 2² . 2². 3². 3²

Então,

\dpi{120} \sqrt{1296} = \sqrt{2^2.2^2.3^2.3^2}

Outra propriedade nos diz que a raiz do produto é igual ao produto das raízes: \dpi{120} \bg_white \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b}

Assim,

\dpi{120} \sqrt{1296} = \sqrt{2^2}. \sqrt{2^2}. \sqrt{3^2}. \sqrt{3^2}

\dpi{120} \bg_white = 2.2.3.3

\dpi{120} \bg_white = 36

Portanto, \dpi{120} \bg_white \sqrt{1296} = 36.

d) \dpi{120} \bg_white \sqrt[3]{2744}

Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que:

2744 = 2.2.2.7.7.7

Como queremos calcular a raiz cúbica, é conveniente escrevermos:

2744 = 2³.7³

Assim:

\dpi{120} \bg_white \sqrt[3]{2744} = \sqrt[3]{2^3.7^3}

\dpi{120} \bg_white = \sqrt[3]{2^3}. \sqrt[3]{7^3}

\dpi{120} \bg_white = 2.7

\dpi{120} \bg_white = 14

Portanto, \dpi{120} \bg_white \sqrt[3]{2744} = 14.

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