Cone

O cone é um figura geométrica espacial que pode ser classificada em mais de um tipo. Veja quais os tipos de cones e aprenda a calcular a área total, a área da base, a área da lateral e o volume dessa figura.

Por Elainy Marciano Publicado em 11/02/2020 - 15:42

O cone é uma figura geométrica espacial, que é formada por segmentos de reta que partem de um círculo até um ponto em comum.

O círculo possui um centro C e um raio r e, no cone, ele é chamado de base. Já o ponto em comum é chamado de vértice e se localiza em um plano diferente do plano onde está a base.

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Além disso, em um cone, temos que:

Qualquer segmento de reta que liga a circunferência do círculo ao vértice é denominado geratriz;
A distância entre plano da base e o vértice é a altura do cone.
A reta que passa pelo centro da base e o vértice é chamado de eixo.

Veja a representação de um cone e seus elementos:

V: vértice
C: centro da base (círculo)
r: raio da base (círculo)
h: altura
g: geratriz

Classificação dos cones

Um cone pode ser classificado em cone reto e em cone oblíquo.

Cone reto: Um cone é classificado como cone reto quando o eixo e o plano da base são perpendiculares, formando um ângulo reto, 90º. Nesse tipo de cone, o eixo é igual a altura.

Assim, em um cone reto, a altura (h), o raio (r) e a geratriz(g) são os três lados de um triângulo retângulo e essas três medidas podem ser relacionadas a partir do Teorema de Pitágoras, que nos permite dizer que $\dpi{120} g^2 = r^2 + h^2$ , ou ainda, aplicando a raiz quadrada, que $\dpi{120} g = \sqrt{r^2 + h^2}$ .

Além disso, uma outra característica desse tipo de cone, é que todas as geratrizes são congruentes, ou seja, elas têm a mesma medida.

Cone oblíquo: Um cone é classificado como cone oblíquo quando o eixo e o plano da base não são perpendiculares.

Fórmulas do cone

Na imagem abaixo, temos a planificação de um cone. A visualização do que seria um cone em um único plano, ou um “cone aberto”, facilitará no entendimento das fórmulas que veremos a seguir.

Área total (ou área externa)

A área total de um cone, ou área externa, é dada pela soma da área da base mais a área da lateral, isto é,

$\dpi{120} \acute{A}rea\ total = {\color{Blue} \acute{A}rea \ da\ base} + {\color{Magenta} \acute{A}rea\ da \ lateral}$

Área da base

A base de um cone é um círculo de raio r. Portanto, a área da base de um cone é igual a área de um círculo de raio r, ou seja:

$\dpi{120} \acute{A}rea\ da\ base = \pi r^2$

O valor de $\dpi{120} \pi$ é aproximadamente 3,14.

Área da lateral

A área da lateral de um cone é expressa da seguinte forma:

$\dpi{120} \acute{A}rea\ da\ lateral = \pi g r$

Explicação: A área da lateral de um cone é a área de um arco de comprimento (perímetro) igual a $\dpi{120} 2 \pi r$ , que faz parte de um setor circular com raio g , área igual a $\dpi{120} \pi g^2$ e perímetro $\dpi{120} 2 \pi g$ .

Então, chamando de $\dpi{120} x$ a área da lateral, até então desconhecida, vamos utilizar uma regra de três simples para descobrir o valor dessa incógnita.

As informações que temos sobre o perímetro e a área do setor circular e o perímetro e a área da lateral podem ser organizadas em uma tabela:

Perímetro	Área
$\dpi{120} 2 \pi g$	$\dpi{120} \pi g^2$
$\dpi{120} 2 \pi r$	$\dpi{120} x$

Assim, temos a seguinte proporção:

$\dpi{120} \frac{2 \pi g}{2 \pi r}=\frac{\pi g^2}{x}$

$\dpi{120} 2 \pi g x = 2 \pi^2g^2r \Rightarrow x= 2 \pi^2g^2r/2 \pi g \Rightarrow x=\pi gr$

Logo, temos que a área da lateral é igual a $\dpi{120} \pi g r$ , como queríamos mostrar.

Então, a área total ou área externa de um cone é dada por:

$\dpi{120} \hspace{-0.5cm} \acute{A}rea\ total = {\color{Blue} \acute{A}rea \ da\ base} + {\color{Magenta} \acute{A}rea\ da \ lateral}\\ \acute{A}rea\ total =\pi r^2+ \pi gr \\ \acute{A}rea\ total = \pi r(r +g)$

Volume do cone

Em um cone, o volume corresponde a 1/3 do multiplicação entre a área da base e a altura. Assim, a fórmula para calcular o volume do cone é:

$\dpi{120} Volume \ do \ cone =\frac{\pi r^2 \cdot h}{3}$ Veja também: Circunferência – Definição, características e equação reduzida