Cubo da soma e cubo da diferença

Cuba da soma e cubo da diferença de dois termos são dois tipos de produtos notáveis que aparecem em muitos cálculos algébricos.

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Cubo da soma e cubo da diferença são dois tipos de produtos notáveis, em que dois termos estão sendo somados ou subtraídos e, depois, elevados ao cubo, ou seja, com expoente igual a 3.

(x + y)³  -> cubo da soma

(x – y)³  -> cubo da diferença

O cubo da soma também pode ser escrito como (x + y) . (x + y) . (x + y) e o cubo da diferença como (x – y). (x – y) . (x – y).

Esses produtos recebem o nome de produtos notáveis pela importância que eles têm, uma vez que aparecem com frequência nos cálculos algébricos.

Agora, recorde-se que, na matemática, uma mesma expressão pode ser escrita de outra forma, mas sem modificar seu valor. Por exemplo, x + 1 + 1 pode ser escrita simplesmente como x + 2.

Muitas vezes, quando reescrevemos uma expressão, conseguimos simplificar e resolver muitos problemas algébricos. Por isso, vamos ver outra forma de escrever o cubo da soma e o cubo da diferença, desenvolvendo-os, algebricamente.

Cubo da soma

O cubo da soma é o produto notável (x + y)³, que é o mesmo que (x + y) . (x + y) . (x + y). Dessa forma, podemos escrever:

(x + y)³ = (x + y) . (x + y) . (x + y)

Agora, considerando que (x + y) . (x + y) = (x + y)² = x² + 2xy + y², o cubo da soma pode ser escrito como:

(x + y)³ = (x + y) . (x² + 2xy + y²)

Multiplicando o polinômio (x + y) por (x² + 2xy + y²), podemos ver que:

(x + y)³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Somando os termos semelhantes, temos que o cubo da soma é dado por:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Exemplo:

Desenvolva cada um dos cubos, algebricamente:

a) (x + 5)²

(x + 5)² = (x)³ + 3.(x)².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³

= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

b) (1 + 2b)³

(1 + 2b)³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b)² + (2b)³

 = 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³

= 1 + 6b + 12b² + 8b³

Cubo da diferença

O cubo da diferença é o produto notável (x – y)³, que é o mesmo que (x – y) . (x – y) . (x – y). Então, temos que:

(x – y)³ = (x – y) . (x – y) . (x – y)

Como (x – y) . (x – y) = (x – y)² = x² – 2xy + y², o cubo da diferença pode ser escrito como:

(x – y)³ = (x – y) . (x² – 2xy + y²)

Multiplicando (x – y) por (x² – 2xy + y²), podemos ver que:

(x – y)³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

Somando os termos semelhantes, temos que o cubo da diferença é dado por:

(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Exemplo:

Desenvolva cada um dos cubos, algebricamente:

a) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x)³ – 3.(x)².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

b) (2a – b)³

(2a – b)³ = (2a)³ – 3.(2a)².(b) + 3.(2a).(b²) – (b)³

= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

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