Multiplicação de polinômios

Aprenda como multiplicar um polinômio por um número real, por um monômio e por outro polinômio!

A multiplicação de polinômios aparece com frequência nos cálculos algébricos, podendo ser de três formas diferentes:

Vamos te mostrar como deve ser feita a multiplicação em cada um desses casos. Mas, antes, é preciso entender o que é um monômio, um polinômio, e quais são os seus elementos.

O que é um monômio?

Um monômio é um termo algébrico composto apenas pela multiplicação de um número real e uma ou mais variáveis.

Exemplos: 3x, x², -2xy, 0,8a³b²c².

O que é um polinômio?

Um polinômio é uma adição algébrica de monômios.

Exemplos: x + 3x² + 1, 5x³ – 2x² + 4x – 2, x² – 9.

Quais são os elementos de um polinômio?

Cada monômio que compõe um polinômio é chamado de termo e cada termo é formado por um coeficiente e uma parte literal.

Exemplo: -3xy² → coeficiente: -3 e parte literal: xy².

Multiplicação de um número real por um polinômio

Para multiplicar um número real por um polinômio, basta multiplicar o número por cada um dos termos do polinômio.

Cada termo é um monômio, então, trata-se a multiplicação de um número por um monômio:

Multiplica-se o número pelo coeficiente do monômio e conserva-se a parte literal, ou seja, ela não é alterada.

Exemplos:

a) multiplicar 2 por (4x + 5)

2 . (4x + 5) =

 = (2 . 4x) + (2 . 5) =

 = 8x + 10

b) multiplicar -1 por (x² – 2x + 2)

-1 . (x² – 2x + 2) =

= (-1 . x²) + (-1 . -2x) + (-1 . 2) =

= -x² + 2x – 2

c) multiplicar 0, 3 . (2x³ – x² + 5x – 9)

0, 3 . (2x³ – x² + 5x – 9) =

= (0,3 . 2x³) + (0,3 . -x²) + (0,3 . 5x) + (0,3 . -9) =

= 0,6x³ – 0,3x² + 1,5x – 2,7

Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para multiplicar um monômio por um polinômio, basta multiplicar o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Como cada termo de um polinômio é também um monômio, devemos nos lembrar de como fazer a multiplicação entre monômios:

Multiplica-se coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Na parte literal, utiliza-se a seguinte propriedade de potenciação:

\dpi{120} \mathrm{x^a . x ^b = x^{a+ b}}

Que significa que se a parte literal for igual, devemos mantê-la e somar os expoentes.

Exemplos:

a) multiplicar x por (x + 7)

5x . (x + 7) =

= (5x . x) + (5x . 7) =

= 5x² + 35x

b) multiplicar -x por (x² – 3x + 6)

-x . (x² – 3x + 6) =

= (-x . x²) + (-x . 3x) + (-x . 6) =

= – x³ – 3x² – 6x

c) multiplicar 2x² por (x³ – 2x² + 3)

2x² . (x³ – 2x² + 3) =

= (2x² . x³) + (2x² . -2x²) + (2x² . 3) =

\dpi{120} \mathrm{= 2x^5 - 4x^4 + 6x^2}

Multiplicação de um polinômio por um polinômio

Para multiplicar um polinômio por outro polinômio, basta multiplicar cada termo de um dos polinômios por cada um dos termos do outro polinômio.

Como cada termo é um monômio, trata-se realizar a multiplicação de monômio por polinômio, que é o caso visto anteriormente.

Exemplos:

a) multiplicar (x – 2) por (x + 4)

(x – 2) . (x + 4) =

= (x . x) + (x . 4) + (- 2 . x) + (- 2 . 4) =

= x² + 4x – 2x – 8 =

= x² + 2x – 8

b) multiplicar (x² – 3x) por (3x² – 2x + 1)

\dpi{120} \mathrm{(x^2 - 3x) \cdot (3x^2 - 2x + 1) = }

\dpi{120} \mathrm{= (x^2 \cdot 3x^2) + (x^2 \cdot -2x) + (x^2 \cdot 1) + (-3x \cdot 3x^2) + (-3x \cdot -2x) + (-3x \cdot 1) =}

\dpi{120} \mathrm{=3x^4 -2x^3 + x^2 -9x^3 +6x^2 - 3x=}

\dpi{120} \mathrm{=3x^4 - 11x^3 + 7x^2 - 3x}

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