Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Existem alguns métodos de calcular a divisão entre polinômios, o dispositivo de Briot-Ruffini é uma deles. Veja como funciona!

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é um método para efetuar a divisão de um polinômio por um binômio do 1º grau.

Considere um polinômio de grau n:

\dpi{120} \mathbf{P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2 + a_1x+a_0}

E um binômio da forma:

\dpi{120} \mathbf{Q(x) = x+a} ou

\dpi{120} \mathbf{Q(x) = x-a}

Para utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini e calcular a divisão de \dpi{120} \mathbf{P(x)} por \dpi{120} \mathbf{Q(x)}, precisamos dos coeficientes \dpi{120} \mathbf{a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_2, a_1\,} e\, \mathbf{a_0}  de \dpi{120} \mathbf{P(x)} e da raiz de \dpi{120} \mathbf{Q(x)}, que é determinada resolvendo a equação \dpi{120} \mathbf{Q(x) = 0}.

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini

Vamos mostrar como calcular a divisão de um polinômio por um binômio usando o dispositivo de Biot-Ruffini, a partir de um exemplo.

Exemplo:

Vamos dividir o polinômio \dpi{120} \mathbf{3x^3 - 6x + 2 } por \dpi{120} \mathbf{x - 2}.

1º passo) Obtemos a raiz de \dpi{120} \mathbf{x - 2}:

\dpi{120} \mathbf{x - 2 = 0}

\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{x = 2}

2º passo) Verificamos quais são os coeficientes de \dpi{120} \mathbf{3x^3 - 6x + 2 }:

Como temos um polinômio de grau 3, devemos ter os coeficientes \dpi{120} \mathbf{a_3, a_2, a_1\,} e\mathbf{\, a_o}. Como o termo \dpi{120} \mathbf{a_2x^2} não aparece no polinômio, o coeficiente \dpi{120} \mathbf{a_2} é igual a 0.

\dpi{120} \mathbf{{\color{Red} 3}x^3 + {\color{Blue} 0}x^2 { {\color{DarkGreen} - 6}}x + {{\color{DarkOrange} 2}} }

Os coeficientes são 3, 0, -6 e 2.

3º passo) Montamos um tabela com a raiz encontrada (2) e os coeficientes (3, 0, -6 e 2):

Dispositivo Briot-Ruffini

4º passo) Copiamos o primeiro coeficiente na linha de baixo:

Dispositivo Briot-Ruffini

5º passo) Multiplicamos esse primeiro valor (3) pela raiz (2) e somamos ao próximo coeficiente (0). Escrevemos o resultado na linha de baixo.

Dispositivo Briot-Ruffini

6º passo) Repetimos o passo 5, para o segundo valor da linha de baixo.

Dispositivo Briot-Ruffini

7º passo) Repetimos o passo 5, para o terceiro valor da linha de baixo.

Dispositivo Briot-Ruffini

8º passo) Com a tabela já completa, o último número é o resto da divisão e os demais são os coeficientes do polinômio resultante.
  • Resto: 14
  • Coeficientes: 3, 6 e 6.
9º passo) Escrevemos o polinômio resultante, considerando um grau a menos que o grau do polinômio que dividimos.

Dividimos um polinômio de grau 3, então, polinômio obtido será de grau 2.

\dpi{120} \mathbf{3x^2 + 6 x + 6}

Isso significa que \dpi{120} \mathbf{3x^3 - 6x + 2 = (3x^2+6x+6)\cdot (x-2)+14}.

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