Lista de exercícios sobre perpendicularidade

Confira uma lista resolvida de exercícios sobre perpendicularidade e saiba como identificar retas perpendiculares a partir dos ângulos e das equações.

Por Elainy Marciano Publicado em 16/11/2020 - 14:23

Perpendicularidade está associada à intersecção entre duas figuras geométricas formando ângulos retos. Veja o exemplo de duas retas perpendiculares:

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As retas se cruzam em um único ponto e os ângulos formados nesse cruzamento são ângulos de 90°.

Considerando as equações reduzidas das retas: $\dpi{120} r: y = m_r x+ b$

$\dpi{120} s: y = m_s x+ c$

Então, é necessário que $\dpi{120} m_r = -\frac{1}{m_s}$ para que as retas sejam, de fato, perpendiculares.

Confira uma lista de exercícios sobre perpendicularidade, com todas as questões resolvidas.

Exercícios sobre perpendicularidade

Questão 1. Verifique se as retas $\dpi{120} r$ e $\dpi{120} s$ são perpendiculares:

$\dpi{120} r:y = 2x - 7$

$\dpi{120} s:y = -\frac{x}{2} + 3$

Questão 2. Verifique se as retas $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ são perpendiculares:

$\dpi{120} p: x + 2y =3$

$\dpi{120} q:y = 2x - 3$

Questão 3. Verifique se as retas $\dpi{120} u$ e $\dpi{120} v$ são perpendiculares:

$\dpi{120} u: x+ y = 8$

$\dpi{120} v: 2x - y = 5$

Questão 4. Determine o valor de $\dpi{120} a$ para que as retas $\dpi{120} g$ e $\dpi{120} h$ sejam perpendiculares:

$\dpi{120} g: 9x + 3y = 15$

$\dpi{120} h: y = ax -2$

Resolução da questão 1

As retas r e s são perpendiculares se $\dpi{120} m_r = -\frac{1}{m_s}$ , sendo $\dpi{120} m_r$ e $\dpi{120} m_s$ , os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

O coeficiente angular da reta r: $\dpi{120} y = 2x - 7$ é $\dpi{120} m_r = 2$ e o coeficiente angular da reta s: $\dpi{120} y = -\frac{x}{2} + 3$ é $\dpi{120} m_s = -\frac{1}{2}$ .

Então, $\dpi{120} m_r = -\frac{1}{m_s}$ , e podemos dizer que as retas são perpendiculares, r⊥s.

Resolução da questão 2

As retas p e q são perpendiculares se $\dpi{120} m_p = -\frac{1}{m_q}$ , sendo $\dpi{120} m_p$ e $\dpi{120} m_q$ , os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta p.

$\dpi{120} x + 2y =3$

$\dpi{120} \Rightarrow 2y =3 - x$

$\dpi{120} \Rightarrow y =\frac{3 - x}{2}$

$\dpi{120} \Rightarrow y =-\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Portanto, $\dpi{120} m_p = -\frac{1}{2}$ .

O coeficiente angular da reta q: $\dpi{120} y = 2x - 3$ é $\dpi{120} m_q = 2$ .

Então, $\dpi{120} m_p = -\frac{1}{m_q}$ , e podemos dizer que as retas são perpendiculares, p⊥q.

Resolução da questão 3

As retas u e v são perpendiculares se $\dpi{120} m_u = -\frac{1}{m_v}$ , sendo $\dpi{120} m_u$ e $\dpi{120} m_v$ , os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta u.

$\dpi{120} x+ y = 8$

$\dpi{120} \Rightarrow y = - x + 8$

Portanto, $\dpi{120} m_u = -1$ .

Vamos determinar o coeficiente angular da reta v.

$\dpi{120} 2x - y = 5$

$\dpi{120} \Rightarrow - y = 5 - 2x$

$\dpi{120} \Rightarrow y = 2x - 5$

Portanto, $\dpi{120} m_v = 2$ .

Então, $\dpi{120} m_u \neq -\frac{1}{m_v}$ , e podemos dizer que as retas não são perpendiculares.

Resolução da questão 4

As retas g e h são perpendiculares se $\dpi{120} m_g = -\frac{1}{a}$ , sendo $\dpi{120} m_g$ e $\dpi{120} a$ , os coeficientes angulares das retas, respectivamente.