Retas perpendiculares

Aprenda sobre as retas perpendiculares e saiba qual é a condição de perpendicularidade entre duas retas.

Retas perpendiculares são duas retas que possuem um ponto de intercepto, no qual se forma um ângulo reto (ângulo de 90°).

Desse modo, retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes.

Existe uma condição que permite identificar quando duas retas são ou não perpendiculares. Essa condição é baseada no valor do coeficiente angular de cada reta.

Condição de perpendicularidade

Uma reta r com coeficiente angular \dpi{120} \boldsymbol{m_1} e uma reta s com coeficiente angular \dpi{120} \boldsymbol{m_2} são perpendiculares quando:

\dpi{120} \boldsymbol{m_1\cdot m_2= -1}

Ou seja, quando multiplicamos os valores dos coeficientes angulares, o resultado deve ser igual a -1 para que as retas sejam perpendiculares.

Observe que essa condição também pode ser expressa como \dpi{120} m_1 = -\frac{1}{m_2} ou \dpi{120} m_2 = -\frac{1}{m_1}. As três formas são equivalentes.

Demonstração

Podemos mostrar que essa condição é verdadeira, considerando que r e s sejam perpendiculares e que o ângulo de inclinação da reta r é \dpi{120} \alpha e o ângulo de inclinação da reta s é \dpi{120} \beta.

Retas perpendiculares

No triângulo formado na figura, temos um ângulo reto (90°), um ângulo \dpi{120} \alpha e um terceiro ângulo que é o suplemento do ângulo \dpi{120} \beta.

Chamando esse terceiro ângulo de \dpi{120} \gamma, temos que \dpi{120} \gamma = 180^{\circ} - \beta.

Como em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é sempre igual a 180° e já temos um ângulo de 90°, a soma dos ângulos \dpi{120} \alpha e \dpi{120} \gamma deve ser igual a 90°. Dessa forma temos:

\dpi{120} \alpha + \gamma = 90^{\circ}

\dpi{120} \alpha + (180^{\circ}- \beta) = 90^{\circ}

\dpi{120} \beta = \alpha +90^{\circ}

Aplicando a tangente dos dois lados da equação, temos que:

\dpi{120} tan\, \beta = tan(\alpha +90^{\circ})

Considerando as razões trigonométricas, temos que:

\dpi{120} tan(\alpha+90^{\circ}) = \frac{sen(\alpha+90^{\circ})}{cos(\alpha+90^{\circ})}

Por essas duas últimas equações, temos que:

\dpi{120} tan \, \beta = \frac{sen(\alpha+90^{\circ})}{cos(\alpha+90^{\circ})}

Aplicando as relações de seno e cosseno da soma de dois ângulos, temos que:

\dpi{120} tan \, \beta = \frac{sen\, \alpha.cos\, 90^{\circ}+sen\, 90^{\circ}.cos\, \alpha}{cos\alpha.cos\, 90^{\circ}-sen\, \alpha.sen\, 90^{\circ}}

Como seno de 90° é 1 e cosseno de 90° é 0, temos que:

\dpi{120} tan \, \beta = -\frac{cos \alpha}{sen \alpha}= -\frac{1}{tan \alpha}

O coeficiente angular é definido como a tangente do ângulo de inclinação, assim, temos \dpi{120} m_1 = tan\, \alpha e \dpi{120} m_2 = tan\, \beta.

Dessa forma, podemos escrever:

\dpi{120} m_2 = -\frac{1}{m_1}

\dpi{120} \Rightarrow m_1\cdot m_2 = -1

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