Lista de exercícios sobre perpendicularidade

Confira uma lista resolvida de exercícios sobre perpendicularidade e saiba como identificar retas perpendiculares a partir dos ângulos e das equações.

Perpendicularidade está associada à intersecção entre duas figuras geométricas formando ângulos retos. Veja o exemplo de duas retas perpendiculares:

Retas perpendiculares

As retas se cruzam em um único ponto e os ângulos formados nesse cruzamento são ângulos de 90°.

Considerando as equações reduzidas das retas:\dpi{120} r: y = m_r x+ b

\dpi{120} s: y = m_s x+ c

Então, é necessário que \dpi{120} m_r = -\frac{1}{m_s} para que as retas sejam, de fato, perpendiculares.

Confira uma lista de exercícios sobre perpendicularidade, com todas as questões resolvidas.

Exercícios sobre perpendicularidade


Questão 1. Verifique se as retas \dpi{120} r\dpi{120} s são perpendiculares:

\dpi{120} r:y = 2x - 7

\dpi{120} s:y = -\frac{x}{2} + 3


Questão 2. Verifique se as retas \dpi{120} p\dpi{120} q são perpendiculares:

\dpi{120} p: x + 2y =3

\dpi{120} q:y = 2x - 3


Questão 3. Verifique se as retas \dpi{120} u\dpi{120} v são perpendiculares:

\dpi{120} u: x+ y = 8

\dpi{120} v: 2x - y = 5


Questão 4. Determine o valor de \dpi{120} a para que as retas \dpi{120} g\dpi{120} h sejam perpendiculares:

\dpi{120} g: 9x + 3y = 15

\dpi{120} h: y = ax -2


Resolução da questão 1

As retas r e s são perpendiculares se \dpi{120} m_r = -\frac{1}{m_s}, sendo \dpi{120} m_r e \dpi{120} m_s, os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

O coeficiente angular da reta r: \dpi{120} y = 2x - 7 é  \dpi{120} m_r = 2 e o coeficiente angular da reta s: \dpi{120} y = -\frac{x}{2} + 3 é \dpi{120} m_s = -\frac{1}{2}.

Então, \dpi{120} m_r = -\frac{1}{m_s}, e podemos dizer que as retas são perpendiculares, r⊥s.

Resolução da questão 2

As retas p e q são perpendiculares se \dpi{120} m_p = -\frac{1}{m_q}, sendo \dpi{120} m_p e \dpi{120} m_q, os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta p.

\dpi{120} x + 2y =3

\dpi{120} \Rightarrow 2y =3 - x

\dpi{120} \Rightarrow y =\frac{3 - x}{2}

\dpi{120} \Rightarrow y =-\frac{x}{2} + \frac{3}{2}

Portanto, \dpi{120} m_p = -\frac{1}{2}.

O coeficiente angular da reta q: \dpi{120} y = 2x - 3 é \dpi{120} m_q = 2.

Então, \dpi{120} m_p = -\frac{1}{m_q}, e podemos dizer que as retas são perpendiculares, p⊥q.

Resolução da questão 3

As retas u e v são perpendiculares se \dpi{120} m_u = -\frac{1}{m_v}, sendo \dpi{120} m_u e \dpi{120} m_v, os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta u.

\dpi{120} x+ y = 8

\dpi{120} \Rightarrow y = - x + 8

Portanto, \dpi{120} m_u = -1.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta v.

\dpi{120} 2x - y = 5

\dpi{120} \Rightarrow - y = 5 - 2x

\dpi{120} \Rightarrow y = 2x - 5

Portanto, \dpi{120} m_v = 2.

Então, \dpi{120} m_u \neq -\frac{1}{m_v}, e podemos dizer que as retas não são perpendiculares.

Resolução da questão 4

As retas g e h são perpendiculares se \dpi{120} m_g = -\frac{1}{a}, sendo \dpi{120} m_g e \dpi{120} a, os coeficientes angulares das retas, respectivamente.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta g.

\dpi{120} 9x + 3y = 15

\dpi{120} \Rightarrow 3y = 15 - 9x

\dpi{120} \Rightarrow y = \frac{15 - 9x}{3}

\dpi{120} \Rightarrow y = \frac{15}{3} - \frac{9x}{3}

\dpi{120} \Rightarrow y = 5 - 3x

Portanto, \dpi{120} m_g = -3.

Substituindo \dpi{120} m_g = -3 em  \dpi{120} m_g = -\frac{1}{a}, temos que:

\dpi{120} -3 = -\frac{1}{a}

\dpi{120} \Rightarrow -3\cdot a = -1

\dpi{120} \Rightarrow a = \frac{1}{3}

Para baixar essa lista de exercícios sobre perpendicularidade em PDF, clique aqui!

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