Lista de exercícios sobre segmentos proporcionais

Confira uma lista de exercícios sobre segmentos proporcionais, com todas as questões resolvidas e aprenda mais sobre esse assunto.

Quando a razão entre dois segmentos de reta é igual à razão entre outros dois segmentos, eles são chamados de segmentos proporcionais.

A razão entre dois segmentos é obtida dividindo-se o comprimento de um pelo outro.

Assim, dados quatro segmentos de reta proporcionais com comprimentos a, b, c e d, nessa ordem, temos uma proporção:

\dpi{120} \mathbf{\frac{a}{b} = \frac{c}{d}}

E, pela propriedade fundamental das proporções, temos \dpi{120} \mathbf{ ad = cb}.

Para aprender mais, confira uma lista de exercícios sobre segmentos proporcionais, com todas as questões resolvidas!

Exercícios sobre segmentos proporcionais


Questão 1. Os segmentos \dpi{120} \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}\, \mathrm{e}\, \overline{GH} são, nessa ordem, segmentos proporcionais. Determine a medida de \dpi{120} \overline{CD} sabendo que \dpi{120} \overline{AB} = 5\dpi{120} \overline{EF} = 7,5 e \dpi{120} \overline{GH} = 13,8.


Questão 2. Determine \dpi{120} \overline{BC} sabendo que \dpi{120} \frac{\overline{AB}}{7} = \frac{\overline{BC}}{4} e que:

Segmento de reta


Questão 3. Determine \dpi{120} \overline{AB} sabendo que \dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\overline{BC}}{5} e que:

Segmento de reta


Questão 4. Determine as medidas dos lados de um triângulo que tem 52 unidades de perímetro e seus lados são proporcionais aos lados de outro triângulo com medidas 2, 6 e 5.


Resolução da questão 1

Se os segmentos \dpi{120} \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}\, \mathrm{e}\, \overline{GH} são, nessa ordem, segmentos proporcionais, então:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{EF}}{\overline{GH}}

Substituindo \dpi{120} \overline{AB} = 5\dpi{120} \overline{EF} = 7,5 e \dpi{120} \overline{GH} = 13,8, temos que:

\dpi{120} \frac{5}{\overline{CD}} = \frac{7,5}{13,8}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

\dpi{120} \Rightarrow 7,5 \cdot \overline{CD} = 69

\dpi{120} \Rightarrow \overline{CD} = \frac{69}{7,5}

\dpi{120} \Rightarrow \overline{CD} = 9,2

Resolução da questão 2

Temos:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{7} = \frac{\overline{BC}}{4}

Substituindo \dpi{120} \overline{AB} =11, temos que:

\dpi{120} \frac{11}{7} = \frac{\overline{BC}}{4}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

\dpi{120} \Rightarrow 7\overline{BC} = 44

\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} = \frac{44}{7}

\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} \approx 6,28

Resolução da questão 3

Temos:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\overline{BC}}{5}

Como \dpi{120} \overline{AB} + \overline{BC} = 21, então, \dpi{120} \overline{AB} = 21 - \overline{BC}. Substituindo na expressão acima, temos:

\dpi{120} \frac{21-\overline{BC}}{2} = \frac{\overline{BC}}{5}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

\dpi{120} \Rightarrow 2\overline{BC} = 5(21- \overline{BC})

\dpi{120} \Rightarrow 2\overline{BC} = 105- 5\overline{BC}

\dpi{120} \Rightarrow 7\overline{BC} = 105

\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} = \frac{105}{7}

\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} = 15

Logo \dpi{120} \overline{AB} = 21 - \overline{BC} = 21 - 15 = 6.

Resolução da questão 4

Fazendo um desenho representativo, podemos ver que \dpi{120} \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} = 52.

Triângulos semelhantes

Como os lados dos triângulos são proporcionais, temos que:

\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\overline{BC}}{6} = \frac{\overline{AC}}{5} = r

Sendo \dpi{120} r a razão de proporcionalidade.

Além disso, se os lados são proporcionais, a soma deles, ou seja, os perímetros, também são:

\dpi{120} \frac{\overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} }{2 + 6 + 5} = r

\dpi{120} \Rightarrow \frac{52 }{13} = r

\dpi{120} \Rightarrow r = 4

A partir da razão de proporcionalidade e dos lados conhecidos, obtemos as medidas dos lados do outro triângulo:

\dpi{120} \overline{AB} = r\cdot \overline{A'B'} = 4\cdot 2 = 8

\dpi{120} \overline{BC} = r\cdot \overline{B'C'} = 4\cdot 6 = 24

\dpi{120} \overline{AC} = r\cdot \overline{A'C'} = 4\cdot 5 = 20

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