Lista de exercícios sobre segmentos proporcionais

Confira uma lista de exercícios sobre segmentos proporcionais, com todas as questões resolvidas e aprenda mais sobre esse assunto.

Por Elainy Marciano Publicado em 16/11/2020 - 14:22

Quando a razão entre dois segmentos de reta é igual à razão entre outros dois segmentos, eles são chamados de segmentos proporcionais.

A razão entre dois segmentos é obtida dividindo-se o comprimento de um pelo outro.

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Assim, dados quatro segmentos de reta proporcionais com comprimentos a, b, c e d, nessa ordem, temos uma proporção:

$\dpi{120} \mathbf{\frac{a}{b} = \frac{c}{d}}$

E, pela propriedade fundamental das proporções, temos $\dpi{120} \mathbf{ ad = cb}$ .

Para aprender mais, confira uma lista de exercícios sobre segmentos proporcionais, com todas as questões resolvidas!

Exercícios sobre segmentos proporcionais

Questão 1. Os segmentos $\dpi{120} \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}\, \mathrm{e}\, \overline{GH}$ são, nessa ordem, segmentos proporcionais. Determine a medida de $\dpi{120} \overline{CD}$ sabendo que $\dpi{120} \overline{AB} = 5$ , $\dpi{120} \overline{EF} = 7,5$ e $\dpi{120} \overline{GH} = 13,8$ .

Questão 2. Determine $\dpi{120} \overline{BC}$ sabendo que $\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{7} = \frac{\overline{BC}}{4}$ e que:

Questão 3. Determine $\dpi{120} \overline{AB}$ sabendo que $\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\overline{BC}}{5}$ e que:

Questão 4. Determine as medidas dos lados de um triângulo que tem 52 unidades de perímetro e seus lados são proporcionais aos lados de outro triângulo com medidas 2, 6 e 5.

Resolução da questão 1

Se os segmentos $\dpi{120} \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}\, \mathrm{e}\, \overline{GH}$ são, nessa ordem, segmentos proporcionais, então:

$\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{EF}}{\overline{GH}}$

Substituindo $\dpi{120} \overline{AB} = 5$ , $\dpi{120} \overline{EF} = 7,5$ e $\dpi{120} \overline{GH} = 13,8$ , temos que:

$\dpi{120} \frac{5}{\overline{CD}} = \frac{7,5}{13,8}$

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

$\dpi{120} \Rightarrow 7,5 \cdot \overline{CD} = 69$

$\dpi{120} \Rightarrow \overline{CD} = \frac{69}{7,5}$

$\dpi{120} \Rightarrow \overline{CD} = 9,2$

Resolução da questão 2

Temos:

$\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{7} = \frac{\overline{BC}}{4}$

Substituindo $\dpi{120} \overline{AB} =11$ , temos que:

$\dpi{120} \frac{11}{7} = \frac{\overline{BC}}{4}$

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

$\dpi{120} \Rightarrow 7\overline{BC} = 44$

$\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} = \frac{44}{7}$

$\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} \approx 6,28$

Resolução da questão 3

Temos:

$\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\overline{BC}}{5}$

Como $\dpi{120} \overline{AB} + \overline{BC} = 21$ , então, $\dpi{120} \overline{AB} = 21 - \overline{BC}$ . Substituindo na expressão acima, temos:

$\dpi{120} \frac{21-\overline{BC}}{2} = \frac{\overline{BC}}{5}$

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

$\dpi{120} \Rightarrow 2\overline{BC} = 5(21- \overline{BC})$

$\dpi{120} \Rightarrow 2\overline{BC} = 105- 5\overline{BC}$

$\dpi{120} \Rightarrow 7\overline{BC} = 105$

$\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} = \frac{105}{7}$

$\dpi{120} \Rightarrow \overline{BC} = 15$

Logo $\dpi{120} \overline{AB} = 21 - \overline{BC} = 21 - 15 = 6$ .

Resolução da questão 4

Fazendo um desenho representativo, podemos ver que $\dpi{120} \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} = 52$ .

Como os lados dos triângulos são proporcionais, temos que:

$\dpi{120} \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\overline{BC}}{6} = \frac{\overline{AC}}{5} = r$

Sendo $\dpi{120} r$ a razão de proporcionalidade.

Além disso, se os lados são proporcionais, a soma deles, ou seja, os perímetros, também são:

$\dpi{120} \frac{\overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} }{2 + 6 + 5} = r$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{52 }{13} = r$

$\dpi{120} \Rightarrow r = 4$

A partir da razão de proporcionalidade e dos lados conhecidos, obtemos as medidas dos lados do outro triângulo:

$\dpi{120} \overline{AB} = r\cdot \overline{A'B'} = 4\cdot 2 = 8$

$\dpi{120} \overline{BC} = r\cdot \overline{B'C'} = 4\cdot 6 = 24$

$\dpi{120} \overline{AC} = r\cdot \overline{A'C'} = 4\cdot 5 = 20$

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