Fatorial

Aprenda o que é fatorial, saiba como calcular, simplificar e utilizar o fatorial nas fórmulas de permutação, arranjo e combinação.

O fatorial de um número inteiro positivo \dpi{120} \boldsymbol{n} é representado por \dpi{120} \boldsymbol{n!} e corresponde ao produto entre \dpi{120} \boldsymbol{n} e os números consecutivos menores que ele, até chegar ao número 1.

Para \dpi{120} \boldsymbol{n\geq 2}, o fatorial é definido da seguinte forma:

\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}

Lê-se: fatorial de n.

Já o fatorial de 0 e 1 são definidos como:

  • \dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}
  • \dpi{120} \boldsymbol{1!=1}

Como calcular fatorial

Para calcular o fatorial de um número, basta multiplicar o número por todos os outros números inteiros menores que ele, até chegar ao número 1.

Exemplos:

\dpi{120} 2! = 2\cdot 1 = 2

\dpi{120} 3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6\dpi{120} 4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24\dpi{120} 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120

\dpi{150} \vdots

\dpi{120} 10! = 10\cdot 9\cdot 8\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 3\, 628\, 800

Simplificação de fatorial

Na divisão entre números fatoriais, podemos fazer a simplificação, que consiste em escrever o fatorial de forma conveniente para cancelar alguns termos.

Exemplo:

\dpi{150} \frac{6!}{4!}=?

Observe que \dpi{120} 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 e que  \dpi{120} 6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 , então, podemos reescrever \dpi{120} 6! da seguinte forma:

\dpi{120} 6! = 6\cdot 5\cdot 4!

Assim, temos que:

\dpi{120} \frac{6!}{4!}= \frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!}} = 6\cdot 5 = 30

Outros exemplos:

\dpi{120} \frac{20!}{19!}= \frac{20\cdot 19!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\cancel{19!}} =20

 

\dpi{120} \frac{5!}{8!}= \frac{5!}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!} = \frac{\cancel{5!}}{8\cdot 7\cdot6\cdot \cancel{5!}} = \frac{1}{8\cdot 7\cdot6} =\frac{1}{336}

 

\dpi{120} \frac{n!}{(n-2)!}= \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{(n-2)!} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} = n\cdot (n-1)

Análise combinatória e fatorial

Em combinatória, as técnicas são usadas para contagens do número de possibilidades em que elementos podem ser organizados sem precisar enumerar todas as possibilidades.

Por exemplo, de quantas formas possíveis 3 alunos podem ser organizados em uma fila?

1ª possibilidade:  Aluno 1, Aluno 2, Aluno 3
2ª possibilidade:  Aluno 1, Aluno 3, Aluno 2
3ª possibilidade:  Aluno 2, Aluno 1, Aluno 3
4ª possibilidade:  Aluno 2, Aluno 3, Aluno 2
5ª possibilidade:  Aluno 3, Aluno 1, Aluno 2
6ª possibilidade:  Aluno 3, Aluno 2, Aluno 1

Então, há 6 possibilidades diferentes de organizar os 3 alunos em fila. Agora, suponha que sejam 8 alunos. Qual o número de possibilidades?

São 40320 possibilidades. Como sabemos disso? Usando fatorial!

O número de possibilidades é igual ao fatorial do número de alunos:

\dpi{120} 8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320

Essa é uma das técnicas de análise combinatória e chama-se permutação de n elementos:

\dpi{120} \boldsymbol{P_n=n!}

Há, ainda, os arranjos e combinações, que também dependem do cálculo de fatoriais:

\dpi{120} \boldsymbol{A_{n, p} = \frac{n!}{(n-p)!}}

\dpi{120} \boldsymbol{C_{n, p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}}

Você também pode se interessar:

você pode gostar também

Os comentários estão fechados, mas trackbacks E pingbacks estão abertos.

This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Accept Read More