Fração geratriz

Saiba o que é uma fração geratriz e aprenda o passo a passo para calcular a fração geratriz de qualquer dízima periódica.

Por Elainy Marciano Publicado em 27/05/2020 - 16:12

Uma fração geratriz é qualquer fração que tem como resultado uma dízima periódica, isto é, números decimais infinitos, mas que possuem uma repetição de números.

São exemplos de dízimas periódicas:

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0,55555… 2,1010101010… 15,419419419419… 7,03111111111…

As dízimas periódicas podem ser classificadas como simples ou compostas. Vamos ver como encontrar a fração geratriz para cada um desses tipos de dízima.

Fração geratriz de dízimas periódicas simples

Um número decimal é uma dízima periódica simples quando a parte decimal é formada por um ou mais números que se repetem indefinidamente.

A parte que se repete é chamada de período.

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos ter dois casos.

Caso 1) Quando a parte inteira é igual a zero.

Exemplos: Encontrar a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:

0,33333… 0, 4848484848… 0,135135135…

Basta escrever o período no numerador e, no denominador, o número 9 na mesma quantidade de algarismos do período.

0,33333…

Período: 3 → um algarismo

Fração geratriz: $\dpi{120} \mathbf{\frac{3}{9}}$

0, 4848484848…

Período: 48 → dois algarismos

Fração geratriz: $\dpi{120} \mathbf{\frac{48}{99}}$

0,135135135…

Período: 135 → três algarismos

Fração geratriz: $\dpi{120} \mathbf{\frac{135}{999}}$

Caso 2) Quando a parte inteira é diferente de zero.

Exemplo: Encontrar a fração geratriz da dízima 5,21212121…

Parte inteira: 5

Período: 21

Numerador da fração: escrevemos a parte inteira e, ao lado, o período, e subtraímos a parte inteira.

$\dpi{120} \mathbf{{\color{Blue} 5}{\color{Magenta} 21} - {\color{Blue} 5}}$

Denominador da fração: escrevemos o número 9 na mesma quantidade de algarismos que há no período, que neste caso são dois.

$\dpi{120} \mathbf{99}$

Obtemos a seguinte fração:

$\dpi{120} \frac{\mathbf{{\color{Blue} 5}{\color{Magenta} 21} - {\color{Blue} 5}}}{\mathbf{99}}$

Realizamos a operação e chegamos à fração geratriz:

$\dpi{120} \mathbf{\frac{516}{99}}$

Fração geratriz de dízimas periódicas compostas

Um número decimal é uma dízima periódica composta quando possui um período na parte decimal, mas antes dele existem alguns números que não se repetem.

Vamos ver como encontrar a fração geratriz nesse caso.

Exemplo: Encontrar a fração geratriz da dízima 5,0618181818…

Parte inteira: 5

Parte que não se repete: 06

Período: 18

Numerador da fração: escrevemos a parte inteira, a parte que não se repete e o período e subtraímos a parte inteira e a parte que não se repete.

$\dpi{120} \mathbf{{\color{Blue} 5}\mathbf{{\color{DarkGreen} 06}}{\color{Magenta} 18} - {\color{Blue} 5}}\mathbf{{\color{DarkGreen} 06}}$

Denominador da fração: escrevemos o número 9 na mesma quantidade de algarismos que há no período e o número 0 na mesma quantidade de algarismos que há na parte que não se repete.

$\dpi{120} \mathbf{9900}$

Obtemos a seguinte fração: $\dpi{120} \frac{\mathbf{{\color{Blue} 5}\mathbf{{\color{DarkGreen} 06}}{\color{Magenta} 18} - {\color{Blue} 5}}\mathbf{{\color{DarkGreen} 06}}}{\mathbf{9900}}$

Realizamos a operação e chegamos à fração geratriz:

$\dpi{120} \mathbf{\frac{50112}{9900}}$

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