Inequações – Primeiro e segundo grau
Aprenda a resolver inequações do 1° e 2° grau com exemplos simples e explicativos e saiba como utilizar os gráficos para encontrar as soluções.
Uma inequação é uma sentença matemática que possui uma ou mais incógnitas e apresenta algum dos seguintes símbolos: > , < , ≥ ou ≤.
Exemplos de inequações:
a) 3x + 4 > 1
b) 4y – 2y ≤ 8
Esses símbolos que aparecem nas inequações representam a existência de uma desigualdade, sendo que:
> → sinal de maior
< → sinal de menor
≥ → sinal de maior ou igual
≤ → sinal de menor ou igual
Inequação do primeiro grau
Chamamos de inequação do primeiro grau qualquer inequação onde o maior expoente da incógnita é 1.
Exemplos:
a) 5x – 3 > 2
b) 4x < -28
c) 5y ≥ 10
d) -3z + z ≤ 40
Resolução de uma inequação do primeiro grau
A resolução de uma inequação do 1° grau é feita de forma bem parecida com a de uma equação do 1° grau. Buscamos isolar a incógnita, trocando membros da inequação de lado, sempre que for preciso.
Exemplo: Resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7 para encontrar sua solução.
7x + 6 > 4x + 12
7x – 4x > 12 – 6
3x > 6
x > 6/3
x > 2
Assim, a solução dessa inequação é x > 2.
Contudo, quando a incógnita estiver multiplicada ou dividida por um número negativo e formos passar esse número para o outro lado da inequação, devemos multiplicar toda a inequação por (-1) e inverter o sinal da desigualdade.
Exemplo: Resolver a inequação 4x – 4 – 6x -2 ≤ 10 para encontrar sua solução.
4x – 4 – 6x -2 ≤ 10
4x – 6x ≤ 10 + 4 + 2
-2x ≤ 16 → Número negativo multiplicado por x e queremos passar para o outro lado
-2x ≤ 16 (-1) → Multiplicamos tudo por (-1) e invertemos a desigualdade
2x ≥ -16
x ≥ -16/2
x ≥ -8
Logo, a solução dessa inequação é x ≥ -8.
Resolução usando o gráfico da inequação
Uma outra forma de resolver uma inequação do 1° grau, é construindo um gráfico da equação da reta. Vamos ver como fazer isso através de um exemplo.
Exemplo: Encontrar a solução da inequação 10 – 9x ≥ 2x -1 utilizando o método gráfico.
1º passo) Passamos todos os termos pro lado esquerdo da inequação, deixando um zero no lado direito.
10 – 9x – 2x +1 ≥ 0
2° passo) Somamos os termos semelhantes.
10 – 9x – 2x +1 ≥ 0
-11x + 11 ≥ 0
É essa a inequação que vamos utilizar a partir de agora.
3° passo) Trocamos a desigualdade ≥ por uma igualdade (=) e resolvemos a equação para encontrar sua raiz.
-11x + 11 = 0
-11x = -11
x = -11/-11
x = 1
4° passo) Construímos o gráfico da equação da reta y = -11x + 11
- Se o sinal da incógnita x for positivo, a reta é crescente.
- Se o sinal da incógnita x for negativo, a reta é decrescente;
Então, nesse caso a reta é decrescente, já que o x está sendo multiplicado por um número negativo.
5° passo) Fazemos o estudo do sinal para determinar a solução da inequação.
- y é igual a zero quando x é igual a 1.
- y é maior que zero (+) quando x é menor que 1.
- y é menor que zero (–) quando x é maior que 1.
A solução da inequação são os valores que tornam -11x + 11 ≥ 0 verdadeira, ou seja, os valores de x que levam a y ≥ 0 (y ser maior ou igual a zero).
Considerando o estudo de sinal, isso acontece quando x =1 e x <1, então a solução da inequação é x ≤ 1.
Inequação do segundo grau
Uma inequação do segundo grau é qualquer inequação onde o maior expoente da incógnita é 2.
Exemplos:
a) x² – 5x > 8
b) x² – 9 < 0
c) y² + y – 2 ≥ 0
d) 2y² + 5y ≤ -15
Para resolver uma inequação do segundo grau, utilizamos a fórmula de Bhaskara e fazemos o estudo de sinal da função, que nesse caso, será uma parábola.
Exemplo: Resolver a inequação x² + 3x – 4 > 0 para encontrar sua solução.
Trocamos a desigualdade > por uma igualdade e encontramos as raízes da equação:
x² + 3x – 4 = 0
Temos que:
Então,
Assim, temos:
Portanto, as raízes da equação são 1 e – 4. Como x² tem sinal positivo na equação y = x² + 3x – 4, a parábola tem concavidade para cima.
Fazendo o estudo de sinal, poderemos observar que temos y > 0 quando x > 1 e quando x < -4. Logo, a solução da inequação x² + 3x – 4 > 0 é x > 1 e x < -4.
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