Lei dos cossenos

A lei ou teorema dos cossenos possibilita determinar lados ou ângulos desconhecidos em qualquer triângulo. Entenda quando e como utilizar essa lei.

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A lei dos cossenos, também conhecida por teorema dos cossenos, é composta por três diferentes equações que relacionam as medidas dos lados de qualquer triângulo aos seus ângulos.

É uma lei utilizada para determinar medidas desconhecidas de lados ou ângulos de triângulos.

Pela lei dos cossenos, o quadrado de cada lado é relacionado aos outros dois lados e ao cosseno do ângulo oposto ao lado, veja:

Lei dos cossenos

Lei dos cossenos:

\dpi{120} \boldsymbol{a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \boldsymbol{b^2 = a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot cos\, \beta}

\dpi{120} \boldsymbol{c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot cos\, \gamma}

a

 

Assim como a lei dos senos, a lei dos cossenos é válida para qualquer triângulo, mas, normalmente, é utilizada em triângulos oblíquos, como os apresentados a seguir:

Triângulo acutângulo
Triângulo acutângulo
Triângulo obtusângulo
Triângulo obtusângulo

No caso dos triângulos retângulos, existem relações específicas para determinar suas medidas, como o teorema de Pitágoras.

Aplicação da lei dos cossenos

Para aplicar a lei dos cossenos devemos conhecer dois lados do triângulo e o ângulo entre eles, ou conhecer os três lados do triângulo.

Exemplo (dois lados e um ângulo entre eles)

Dados os lados \dpi{120} \boldsymbol{a = 10}\dpi{120} \boldsymbol{b= 6} e o ângulo \dpi{120} \boldsymbol{\gamma = 45^{\circ}}, encontre o valor do lado \dpi{120} \boldsymbol{c}.

Resolução:

Primeiro, determinamos o lado \dpi{120} \boldsymbol{c}, pela lei dos cossenos:

\dpi{120} \boldsymbol{c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot cos\, \gamma}

Substituímos os valores conhecidos nessa equação:

\dpi{120} \boldsymbol{c^2 = 10^2 + 6^2 - 2\cdot 10\cdot 6\cdot cos\, 45^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{c^2 = 100 + 36 - 120\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{c^2 \approx 100 + 36 - 84,85}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{c^2 \approx 51,15}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{c \approx 7,15}

Os outros ângulos podem ser determinados pela lei dos senos ou também pela lei dos cossenos, conforme o próximo exemplo.

Exemplo (três lados)

Dados os lados \dpi{120} \boldsymbol{a = 14}\dpi{120} \boldsymbol{b = 19} e \dpi{120} \boldsymbol{c = 8}, determine os ângulos internos do triângulo.

Resolução

Ângulo \dpi{120} \alpha:

\dpi{120} \boldsymbol{a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{14^2 = 19^2 + 8^2 - 2\cdot 19\cdot 8\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{196 = 361 + 64 - 304\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{-229 = - 304\cdot cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{0,75 \approx cos\, \alpha}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha \approx cos^{-1}(0,75)}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha \approx 41,40^{\circ}}

Ângulo \dpi{120} \beta:

\dpi{120} \boldsymbol{b^2 = a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot cos\, \beta}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{19^2 = 14^2 + 8^2 - 2\cdot 14\cdot 8\cdot cos\, \beta}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{361 = 196 + 64 - 224\cdot cos\, \beta}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{101 = - 224\cdot cos\, \beta}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{-0,45 \approx cos\, \beta}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\beta \approx cos^{-1}(-0,45)}

\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\beta \approx 116,74^{\circ}}

Ângulo \dpi{120} \gamma:

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180°, então, para descobrir o valor do último ângulo, nem precisamos utilizar a lei dos cossenos.

Temos que:

\dpi{120} \boldsymbol{\gamma = 180^{\circ} - \alpha - \beta}

\dpi{120} \boldsymbol{\Rightarrow \gamma \approx 180^{\circ} -41,40^{\circ} - 116,74^{\circ}}

\dpi{120} \boldsymbol{\Rightarrow \gamma \approx 21,86^{\circ}}

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