Lei dos senos

A lei dos senos serve para encontrar valores desconhecidos em qualquer tipo de triângulo. Entenda como utilizar essa lei e veja exemplos.

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A lei dos senos ou teorema dos senos descreve uma relação que existe entre os lados e os ângulos de qualquer triângulo.

De acordo com a lei dos senos, a razão entre a medida do lado e do seno do ângulo oposto a esse lado é constante, ou seja, é o mesmo valor para os três lados do triângulo.

Lei dos senos

A lei dos senos é muito útil para resolver problemas que envolvem encontrar medidas de lados ou ângulos desconhecidos em triângulos que não são triângulos retângulos.

Em outras palavras, usamos a lei dos senos em triângulos acutângulos, que são os que possuem três ângulos agudos, ou em triângulos obtusângulos, que são aqueles com um ângulo obtuso e dois agudos.

Triângulo acutângulo
Triângulo acutângulo.
Triângulo obtusângulo
Triângulo obtusângulo.

Aplicação da lei dos senos

Para utilizar a lei dos senos precisamos conhecer pelo menos dois ângulos do triângulo e um de seus lados, ou então, dois lados e um ângulo oposto a um deles.

Exemplo (dois ângulos e um lado)

Dados os ângulos \dpi{120} \alpha = 45^{\circ} e \dpi{120} \delta = 28^{\circ} e o lado b = 120, encontre o valor do ângulo \dpi{120} \beta e dos lados a e c.

Resolução:

Uma propriedade de qualquer triângulo é que a soma dos ângulos internos é igual a 180°.

\dpi{120} \alpha + \beta + \delta = 180^{\circ}

Assim, sempre que tivermos dois ângulos, o terceiro pode ser encontrado de forma fácil.

\dpi{120} \beta = 180^{\circ} - \alpha - \delta

\dpi{120} \beta = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 28^{\circ}= 107 ^{\circ}

Portanto, \dpi{120} \beta = 107^{\circ}.

Pela lei dos senos, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{a}{sen45^{\circ}}= \frac{120}{sen107^{\circ}} = \frac{c}{sen28^{\circ}}}

Vamos determinar o valor do lado a através da seguinte proporção:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen45^{\circ}}= \frac{120}{sen107^{\circ}} }

Pela propriedade fundamental das proporções, temos que:

\dpi{120} \mathrm{a= \frac{120\cdot sen45^{\circ}}{sen107^{\circ}} }

Consultando os valores em uma tabela trigonométrica ou utilizando uma calculadora, verificamos que:

\dpi{120} \mathrm{a\approx \frac{120\cdot 0,7071}{0,9563} \approx 88,73}

Portanto, o lado a mede aproximadamente 88,73 unidades de comprimento.

Para determinar o valor do lado c utilizamos a seguinte proporção:

\dpi{120} \mathrm{ \frac{120}{sen107^{\circ}} = \frac{c}{sen28^{\circ}}}

Pela propriedade fundamental das proporções, temos que:

\dpi{120} \mathrm{ c = \frac{120\cdot sen28^{\circ}}{sen107^{\circ}} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ c \approx \frac{120\cdot 0,4694}{0,9563}\approx 58,9 }

Portanto, o lado c mede aproximadamente 58,9 unidades de comprimento.

Exemplo (dois lados e um ângulo oposto)

Dados os lados a = 17 e b = 24 e o ângulo oposto \dpi{120} \alpha = 42^{\circ}, encontre o valor do lado c e dos ângulos \dpi{120} \beta e \dpi{120} \delta.

Resolução:

Pela lei dos senos, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{sen\alpha}= \frac{b}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{17}{sen42^{\circ}}= \frac{24}{sen\beta} = \frac{c}{sen\delta}}

Primeiro, vamos determinar o ângulo \dpi{120} \beta, utilizando a seguinte proporção:

\dpi{120} \mathrm{\frac{17}{sen42^{\circ}}= \frac{24}{sen\beta} }

Pela propriedade fundamental das proporções, temos que:

\dpi{120} \mathrm{sen \beta = \frac{24\cdot sen42^{\circ}}{17}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen \beta = 0,9446}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ \beta = sen^{-1}(0,9446)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ \beta \approx 71^{\circ}}

Agora, podemos encontrar o valor do ângulo \dpi{120} \delta:

\dpi{120} \delta = 180^{\circ}-\alpha - \beta

\dpi{120} \Rightarrow \delta \approx 180^{\circ}-42^{\circ} - 71^{\circ } = 67^{\circ}

Por fim, vamos calcular a medida do lado c:

\dpi{120} \mathrm{\frac{17}{sen42^{\circ}} = \frac{c}{sen67^{\circ}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c =\frac{17\cdot sen67^{\circ}}{sen42^{\circ}} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{c \approx 23 }

Portanto, o lado c tem aproximadamente 23 unidades de comprimento.

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