Lei dos cossenos

A lei dos cossenos, também conhecida por teorema dos cossenos, é composta por três diferentes equações que relacionam as medidas dos lados de qualquer triângulo aos seus ângulos.

É uma lei utilizada para determinar medidas desconhecidas de lados ou ângulos de triângulos.

Pela lei dos cossenos, o quadrado de cada lado é relacionado aos outros dois lados e ao cosseno do ângulo oposto ao lado, veja:

 

Assim como a lei dos senos, a lei dos cossenos é válida para qualquer triângulo, mas, normalmente, é utilizada em triângulos oblíquos, como os apresentados a seguir:

No caso dos triângulos retângulos, existem relações específicas para determinar suas medidas, como o teorema de Pitágoras.

Aplicação da lei dos cossenos

Para aplicar a lei dos cossenos devemos conhecer dois lados do triângulo e o ângulo entre eles, ou conhecer os três lados do triângulo.

Exemplo (dois lados e um ângulo entre eles)

Dados os lados ,  e o ângulo , encontre o valor do lado .

Resolução:

Primeiro, determinamos o lado , pela lei dos cossenos:

Substituímos os valores conhecidos nessa equação:

Os outros ângulos podem ser determinados pela lei dos senos ou também pela lei dos cossenos, conforme o próximo exemplo.

Exemplo (três lados)

Dados os lados ,  e , determine os ângulos internos do triângulo.

Resolução

Ângulo :

Ângulo :

Ângulo :

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180°, então, para descobrir o valor do último ângulo, nem precisamos utilizar a lei dos cossenos.

Temos que:

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