Operações com números complexos

Somar, subtrair, multiplicar e dividir são as principais operações entre números com parte imaginária. Aprenda como calcular!

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Os números complexos são números formados por um número real e um número imaginário. Na forma algébrica, um número complexo \dpi{120} \boldsymbol{z} é escrito como:

\dpi{120} \boldsymbol{z = a + bi}

Em que \dpi{120} \boldsymbol{a} e \dpi{120} \boldsymbol{b} são números reais, \dpi{120} \boldsymbol{a} é chamado de parte real, \dpi{120} \boldsymbol{b} de parte imaginária e \dpi{120} \boldsymbol{i} de unidade imaginária.

O valor da unidade imaginária é \dpi{120} \sqrt{-1}, isto é:

\dpi{120} i = \sqrt{-1}

Consequentemente, temos:

\dpi{120} i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1

Essa segunda relação é muito utilizada em operações que envolvem números complexos.

A seguir, vamos mostrar como realizar operações com números complexos. Para isso, vamos considerar dois números complexos \dpi{120} \boldsymbol{z_1 = a + bi} e \dpi{120} \boldsymbol{z_2 = c + di}.

Adição de números complexos

Na adição de números complexos, devemos somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

\dpi{120} \boldsymbol{z_1 + z_2}

\dpi{120} = (a+bi) + (c+di)

\dpi{120} = a+bi + c+di

\dpi{120} = a+c+bi+di

\dpi{120} \boldsymbol{= (a+c)+(b + d)i}

Exemplos:

a) \dpi{120} (4 + 2i) + (2 + 3i) = (4 + 2) + (2 + 3)i = 6 + 5i

b) \dpi{120} (1 - 2i) + (7 + 4i) = (1 + 7) + (-2 + 4)i = 8 + 2i

c) \dpi{120} (5 + i) + (5 - i) = (5 + 5) + (1 -1)i = 10

d) \dpi{120} (40 + 9i) + (-40 + 9i) = (40 -40) + (9 + 9)i = 18i

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é semelhante à adição, devemos subtrair parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

\dpi{120} \boldsymbol{z_1 - z_2}

\dpi{120} = (a+bi) - (c+di)

\dpi{120} = a+bi - c-di

\dpi{120} = a-c+bi-di

\dpi{120} \boldsymbol{= (a-c)+(b - d)i}

Exemplos:

a) \dpi{120} (4 + 2i) - (2 + 3i) = (4 - 2) + (2 - 3)i = 2 -i

b) \dpi{120} (1 - 2i) - (7 + 4i) = (1 - 7) + (-2 - 4)i = -6 - 6i

c) \dpi{120} (5 + i) - (5 - i) =(5 - 5) + (1 +1)i = 2i

d) \dpi{120} (40 + 9i) - (-40 + 9i) = (40 +40) + (9 - 9)i = 80

Multiplicação de números complexos

Na multiplicação de números complexos, devemos multiplicar cada termo do primeiro fator por cada termo do segundo fator.

\dpi{120} \boldsymbol{z_1 \cdot z_2}

\dpi{120} = (a+bi) \cdot (c+di)

\dpi{120} = ac +adi +cbi + bdi^2

\dpi{120} = ac +adi +cbi + bd(-1)

\dpi{120} = ac +adi +cbi - bd

\dpi{120} \boldsymbol{= (ac - bd)+(ad +cb)i}

Exemplos:

a) \dpi{120} (2 + 4i)\cdot (3 + 2i) = (2\cdot 3 -4\cdot 2) + (2\cdot 2 + 3\cdot 4)i = (6 - 8) + (4 + 12)i = -2 + 16 i

b) \dpi{120} (3 - 2i)\cdot (2 + 5i) = (3\cdot 2 +2\cdot 5)+(3\cdot 5-2\cdot 2)i = (6 +10) +(15 - 4)i = 16 +11i

Divisão de números complexos

Na divisão de números complexos, devemos multiplicar o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.

Lembrando que para encontrar o conjugado de um número complexo, basta trocar o sinal da parte imaginária.

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}}

\dpi{120} \boldsymbol{=\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}

\dpi{120} =\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}

\dpi{120} =\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}

\dpi{120} = \frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2 \cancel{-cdi} \cancel{+cdi} - d^2i^2}

\dpi{120} \boldsymbol{= \frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2 + d^2}}

Exemplos:

a) \dpi{120} (5 + 3i):(2 + 4i) = \frac{(5\cdot 2+3\cdot 4)+(3\cdot 2-5\cdot 4)i}{2^2 + 4^2} = \frac{22 -14i}{20} = \frac{11}{10}- \frac{7}{10}i

b) \dpi{120} (9-2i):(6+i) = \frac{(9\cdot 6-2\cdot 1)+(-2\cdot 6-9\cdot 1)i}{6^2+1^2} = \frac{52 -21i}{37} = \frac{52}{37}- \frac{21}{37}i

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