Logaritmos

Os logaritmos são o inverso de potências. Aprenda a calcular, veja os casos especiais e as principais propriedades dos logaritmos.

Por Elainy Marciano Publicado em 23/06/2020 - 16:43

No século XVII, o estudo dos logaritmos representou um grande avanço na realização de operações aritméticas, permitindo transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações.

A introdução dos logaritmos é atribuída ao matemático escocês John Napier (1550–1617).

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O que é logaritmo

O logaritmo é uma operação matemática definida como o inverso de uma exponenciação ou potenciação.

Considere dois números positivos, a e b, com $\dpi{120} a\neq 1$ .

Dizemos que o logaritmo de b, na base a, é igual número x, quando:

$\dpi{150} \mathrm{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$

Em que:

a: base
b: logaritmando
x: logaritmo

Exemplos:

1) Logaritmo de 81 na base 9 é igual a 2, pois 9 elevado ao quadrado é 81.

$\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = 2 \Leftrightarrow 9^2 = 81}$

2) Logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3, pois 2 elevado ao cubo é 8.

$\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8}$

3) Logaritmo de 100000 na base 10 é igual a 4, pois 10 elevado a 4 é 100000.

$\dpi{120} \mathrm{\log_{10} 100000 = 4 \Leftrightarrow 10^4 = 100000}$

Como calcular logaritmos

Para calcular logaritmos, utilizamos a própria definição. Considere, por exemplo, calcular o logaritmo de 64 na base 2, ou seja:

$\dpi{120} \mathrm{\log_{2} 64}$

A primeira coisa a ser feita, é igualar a x:

$\dpi{120} \mathrm{\log_{2} 64 = x}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{\log_{2} 64 = x \Leftrightarrow 2^x = 64}$

Portanto, podemos encontrar x resolvendo a equação da direita, onde x é um expoente.

$\dpi{120} \mathrm{2^x = 64}$

Uma forma de resolver essa equação, seria atribuir valores para x e calcular a potência.

$\dpi{120} 2^0 = 1,\: 2^1 = 2,\: 2^2 = 4, \: ...,2^6 = 64$

Assim, descobrimos que x = 6.

Contudo, essa forma de resolver por tentativas nem sempre é viável. Se x fosse 1000, por exemplo, seriam 1000 tentativas!

Uma outra forma de resolver a equação é fazendo a decomposição do número 64 em fatores primos.

$\dpi{120} 64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2^6$

Então, substituímos 64 por $\dpi{120} 2^6$ na equação $\dpi{120} \mathrm{2^x = 64}$ , obtendo:

$\dpi{120} \mathrm{2^x = 2^6}$

Como as bases são iguais, os expoentes também são iguais, então, x = 6.

Casos especiais de logaritmos

Chamamos de casos especiais alguns logaritmos que são consequência direta da definição e que aparecem com frequência em cálculos matemáticos.

Caso 1) Como $\dpi{120} \mathrm{a^0 =1}$ para qualquer valor de a, então:

$\dpi{120} \mathrm{log_a1 = 0}$

Caso 2) Como $\dpi{120} \mathrm{a^1 =a}$ para qualquer valor de a, então:

$\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}$

Caso 3) Como $\dpi{120} \mathrm{a^c =a^c}$ para qualquer valor de a, então:

$\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}$

Caso 4) Se b e c são iguais, então:

$\dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}$

Caso 5) Um número a elevado ao logaritmo de b, na base a, é igual a b:

$\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}$

Propriedades dos logaritmos

Os logaritmos possuem propriedades importantes, que permitem simplificar muitos cálculos. Veja:

Propriedade 1) O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos:

$\dpi{120} \mathrm{log_a(b\cdot c) = log_ab + log_ac}$

Propriedade 2) O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos:

$\dpi{120} \mathrm{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}$

Propriedade 3) O logaritmo de um número elevado a um expoente é igual à multiplicação do expoente pelo logaritmo:

$\dpi{120} \mathrm{log_ab^c = c\cdot log_ab}$

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