Exercícios sobre função quadrática

Confira uma lista de exercícios resolvidos que preparamos sobre função quadrática, também conhecida por função do 2° grau.

A função quadrática ou função do 2° grau é uma função f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais, com a diferente de zero. O gráfico desse tipo de função é sempre uma parábola, cuja concavidade pode ser determinada a partir do valor de a.

Outra forma de escrever uma função quadrática é na forma canônica. Para isso, só precisamos saber quais são as coordenadas do vértice da parábola.

\dpi{120} \bg_white \mathrm{f(x) = a(x - x_v)^2+y_v}

Em que \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_v \: e\: y_v} são as coordenadas do vértice.

Nos exercícios envolvendo função quadrática, a função pode aparecer escrita em qualquer uma dessas formas. Para saber mais sobre isso e outros assuntos relacionados, veja uma lista de exercícios resolvidos sobre função quadrática.

Lista de exercícios sobre função quadrática


Questão 1. Determine o vértice da seguinte função quadrática:

\dpi{120} f(x) = -3x^2 + 6x + 5


Questão 2. Determine as raízes da função quadrática:

\dpi{120} \bg_white f(x) = 4x^2 + 4x - 8


Questão 3. Encontre os pontos de intercepto dos eixos x e y com a função quadrática:

\dpi{120} \bg_white f(x) = x^2 - 8x + 12


Questão 4. Determine o vértice e os pontos de intercepto dos eixos com a seguinte função:

\dpi{120} \bg_white f(x) = x^2 + 1


Questão 5. Escreva a função abaixo na forma canônica:

\dpi{120} \bg_white f(x) = 0,5x^2+ x - 4


Questão 6. Determine o vértice de cada uma das seguintes funções quadráticas:

a) \dpi{120} \bg_white f(x) = (x-1)^2 + 1

b) \dpi{120} \bg_white f(x) = 2(x + 1)^2 -3

c) \dpi{120} \bg_white f(x) = -3(x-2)^2 - 5


Questão 7. Em quais pontos as funções quadráticas abaixo se interceptam?

\dpi{120} \bg_white f(x) = 2x^2 + 4x + 2

\dpi{120} \bg_white p(x) = 2x^2 + x + 1


Resolução da questão 1

\dpi{120} f(x) = -3x^2 + 6x + 5

Temos \dpi{120} \bg_white a = -3, b =6 \: e\: c = 5.

As coordenadas do vértice V são dadas por:

\dpi{120} \bg_white x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2.(-3)} = \frac{-6}{-6} = 1

e

\dpi{120} \bg_white y_v = \frac{-\Delta }{4.a} = \frac{-(b^2 - 4.a.c)}{4a} = \frac{-(6^2 - 4 . (-3).5)}{4.(-3)} = \frac{-96}{-12} = 8

Assim, vértice é o ponto V(1, 8).

Resolução da questão 2

\dpi{120} \bg_white f(x) = 4x^2 + 4x - 8

Determinar as raízes ou zeros essa função quadrática, consiste em resolver a seguinte equação do 2° grau:

\dpi{120} \bg_white 4x^2 + 4x -8 = 0

Existem alguns métodos para isso, um deles consiste em calcular o discriminante e aplicar a fórmula de Bhaskara.

Temos \dpi{120} \bg_white a = 4, b = 4 \: e\: c = -8. Assim:

\dpi{120} \bg_white \Delta = 4^2 - 4. 4. (-8) = 144

\dpi{120} \bg_white x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2.4} = \frac{-4 \pm 12}{8}

De onde obtemos: \dpi{120} \bg_white x_ 1 = \frac{-4 + 12}{8} = \frac{8}{8} = 1 e \dpi{120} \bg_white x_2 = \frac{-4-12}{8} = \frac{-16}{8} = -2.

Portanto, as raízes da função quadrática são os pontos 1 e -2.

Resolução da questão 3

\dpi{120} \bg_white f(x) = x^2 - 8x + 12

Intercepto com o eixo x:

Os pontos de intercepto do eixo x com a função são as raízes ou zeros da função. Assim, podemos encontrar esses pontos utilizando a fórmula de Bhaskara, como na questão anterior.

Temos \dpi{120} \bg_white a = 1, b = -8 \: e\: c = 12. Assim:

\dpi{120} \bg_white \Delta = (-8)^2 - 4. 1. 12 = 16

\dpi{120} \bg_white x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2.1} = \frac{8 \pm 4}{2}

De onde obtemos: \dpi{120} \bg_white x_ 1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 e \dpi{120} \bg_white x_2 = \frac{8-4}{2} = \frac{4}{2} =2.

Portanto, os pontos de intercepto da função com o eixo x são os pontos 6 e 2.

Intercepto com o eixo y:

Para determinar o ponto de intercepto da função com o eixo y, temos que calcular f(0).

f(0) = 0² – 8.0 + 12

f(0) = 12

Portanto, a função intercepta o eixo y no ponto 12.

Resolução da questão 4

\dpi{120} \bg_white f(x) = x^2 + 1

Temos \dpi{120} \bg_white a = 1, b = 0 \: e\: c = 1.

Vértice:

Assim, as coordenadas do vértice são:

\dpi{120} \bg_white x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{2.1} = 0

e

\dpi{120} \bg_white y_v = \frac{-\Delta }{4.a} = \frac{-(b^2 - 4.a.c)}{4a} = \frac{-(0^2 - 4 . 1.1)}{4.1} = \frac{4}{4} = 1

Portanto, o vértice é o ponto V(0,1).

Intercepto com o eixo x:

\dpi{120} \bg_white \Delta = (0)^2 - 4. 1. 1 = -4

Observe que o discriminante é um número negativo, assim na fórmula de Bhaskara aparecerá √-4. Desse modo, não existe solução real para a equação.

Isso significa que a função não intercepta o eixo x.

Um outra forma de verificar isso é esboçando o gráfico da função, que será uma parábola côncava para cima com vértice no ponto V(0,1), ou seja, não intercepta o eixo x.

Intercepto com o eixo y:

f(0) = 1, então o ponto de intercepto com o eixo y é o ponto 1.

Resolução da questão 5

Podemos verificar, facilmente, que o vértice dessa função é o ponto V(-1; -4,5).

Assim, a forma canônica da função é:

\dpi{120} \bg_white f(x) = 0,5(x - (-1))^2 -4,5

\dpi{120} \bg_white f(x) = 0,5(x + 1)^2 -4,5

Resolução da questão 6

As funções estão na forma canônica, assim podemos determinar o vértice sem fazer nenhum cálculo.

a) \dpi{120} \bg_white f(x) = (x-1)^2 + 1

V(1,1)

b) \dpi{120} \bg_white f(x) = 2(x + 1)^2 -3

V(-1, -3)

c) \dpi{120} \bg_white f(x) = -3(x-2)^2 - 5

V(2, -5)

Resolução da questão 7

Para encontrar o ponto de intercepto entre duas funções quadráticas, devemos igualar as duas funções e determinar o valor da incógnita.

f(x) = p(x)

\dpi{120} \bg_white 2x^2 + 4x + 2 = 2x^2 + x + 1

\dpi{120} \bg_white 3x = -1

\dpi{120} \bg_white x = \frac{-1}{3}

Essa é a primeira coordenada do ponto de intercepto. Para determinar a segunda coordenada, devemos aplicar esse valor em alguma das duas funções, isto é, calcular f(-1/3) ou p(-1/3).

f(-1/3) = 2.(-1/3)² + 4(-1/3) + 2 = 8/9

Assim, o ponto de intercepto é ponto (-1/3; 8/9).

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