Matriz inversa

A matriz inversa de uma matriz  de ordem  é uma matriz, também de ordem , que ao ser multiplicada pela matriz  , tem como resultado uma matriz identidade de ordem .

Em que  é a matriz inversa de .

Contudo, nem toda matriz possui inversa. Apenas matrizes quadradas com determinante diferente de zero possuem inversa.

Quando uma matriz possui inversa, dizemos que ela é uma matriz inversível ou não singular.

Como calcular matriz inversa

Existem várias formas de calcular matriz inversa de matriz que é inversível. Uma delas, é pela própria definição. Vamos ver um exemplo considerando uma matriz 2 × 2.

Passo 1) Calculamos o determinante para verificar se existe a matriz inversa:

Como o determinante é diferente de zero, então, existe a matriz inversa de .

Passo 2) Aplicamos a definição, considerando incógnitas (a, b, c e d) para os valores desconhecidos dos termos da matriz inversa.

Passo 3) Multiplicamos as matrizes.

Para saber mais, leia nosso texto: Multiplicação de matrizes.

Passo 4) Igualamos os elementos da matriz obtida aos elementos de mesma posição na matriz identidade, obtendo dois sistemas de equações:

Passo 5) Resolvemos cada um dos sistemas para encontrar os valores das incógnitas:

Sistema 1:

         

Sistema 2:

     

Passo 6) Substituímos os valores encontrados na matriz inversa:

Se quiser tirar a prova real, basta multiplicar  pela matriz  encontrada e o resultado deve ser a matriz identidade. Se não for, revise os cálculos feitos em cada passo.

Matriz inversa a partir da matriz adjunta

Para matrizes de ordem maior que 2, encontrar a matriz inversa pelo método visto anteriormente, pode não ser uma tarefa muito fácil.

Contudo, existe um método alternativo, por meio do qual se obtém a matriz inversa a partir da matriz adjunta.

Pelo método da matriz adjunta, a inversa de uma matriz quadrada, com determinante diferente de zero, é dada por:

Em que  é a matriz de cofatores de  e  é a transposta dessa matriz.

Matriz de cofatores: é uma matriz com a mesma ordem da matriz . Cada elemento  da matriz de cofatores é calculado da seguinte forma:

Em que  é o determinante da matriz quando se elimina a linha  e a coluna .

Inversa de matriz de ordem 2 a partir da adjunta

No caso de uma matriz de ordem 2, o cálculo da inversa pelo método da matriz adjunta pode ser resumido da seguinte forma:

Exemplo: Vamos calcular a inversa da matriz do exemplo anterior utilizando esse método:

Então, a inversa é dada por:

Inversa de matriz de ordem 3 a partir da adjunta

Vamos mostrar um exemplo de como calcular a matriz inversa de uma matriz de ordem 3 × 3, pelo método da adjunta.

Passo 1) Calcular o determinante da matriz, podemos usar a Regra de Sarrus para isso.

Passo 2) Calcular os elementos da matriz de cofatores:

De modo semelhante, são calculados os valores de .

A matriz de cofatores é:

Passo 3) Calcular a transposta da matriz de cofator:

Passo 4) Encontrar a inversa, dividindo cada elemento pelo determinante:

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